He hablado ya antes de variantes de Catan, pero no me planteé en aquel momento una posibilidad que ahora trataré, que desde luego da para una entrada de blog entera: cambiar los dados.
Por centrar el asunto tanto para los que estén familiarizados con Catan como para los que no, hemos de recordar que Catan usa los dados de manera muy sencilla: utiliza el resultado que se obtiene de sumar los valores de dos dados tirados simultáneamente. Pone en funcionamiento diferentes celdas del tablero dependiendo del valor obtenido. Por tanto, si en Catan vamos a cambiar los dados, debemos ceñirnos a lo que el juego necesita: resultados entre 2 y 12, con probabilidades en principio diferentes.
Pues bien, voy a plantear combinaciones de dados diferentes a la más sencilla de dos dados cúbicos. Es la más sencilla porque el cubo 1 a 6 es el dado más habitual, y la combinación de resultados es sumarlos, a su vez la operación aritmética más básica.
Y como soy profesor de Matemáticas voy a referir el estudio de cómo funcionarían las diferentes alternativas de dados a los diferentes niveles (de España). Empezamos por lo más elemental, que como hemos dicho es:
6x6: dos dados de 6 caras cada uno, numeradas de 1 a 6.
Aviso para los alumnos más jóvenes: si no lo pensamos mucho, podríamos decirnos: de la misma manera que un dado va de 1 a 6, dos dados irán de 1 a 12. Pero ¡ojo!, para empezar nunca podremos obtener un 1, ya que lo mínimo que podremos obtener en cada dado es ese valor y, al sumar ambos, el mínimo será un 2. Por tanto, nuestros resultados irán de 2 a 12.
Ahora bien, podríamos también generalizar nuestras ideas referidas a un solo dado y decir: la probabilidad de obtener cualquiera de esos valores de 2 a 12 es la misma. Pero no es así, y de hecho el juego Catan aprovecha esta circunstancia para que los valores más probables tengan más efecto en el juego.
Para ver por qué no todos los valores son igualmente probables, construiremos una útil herramienta llamada "tabla de doble entrada".
Empecemos con una tabla sencilla donde se reflejen los seis valores posibles de un dado cúbico:
Ahora a los alumnos ya no tan jóvenes: consideramos que el dado no está trucado si la probabilidad de obtener cada uno de los valores es la misma, que según Laplace se calcula: uno de los números concretos / total de números, es decir 1/6. Podemos comprobar que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1, o dicho de otra manera, que la probabilidad de que salga un número entre 1 y 6 es del 100 %, como es de esperar de acuerdo a la definición matemática de probabilidad.
Pues bien, ahora combinamos dos dados idénticos, poniendo los valores de uno en una fila y los del otro en una columna, y la suma de cada par en la celda de la misma fila que uno y columna que el otro:
Si hemos sumado con cuidado, obtendremos que los valores posibles son once en total, de 2 a 12. Para determinar la probabilidad de cada uno, podemos fijarnos en que como los valores de cada dado son equiprobables, los de cada celda resultado de los dos dados también lo es, de modo que sólo tenemos que contar cuántas veces aparece cada resultado, siendo, de nuevo según Laplace:
Aquí ya hemos puesto las fracciones en forma de porcentajes, para poder comparar después con lo que obtengamos para otros dados. Este caso es sencillo porque es simétrico: si nos fijamos en las probabilidades empezando por la izquierda son las mismas que por la derecha, pero los porcentajes también nos ayudarán a mantener la referencia cuando no haya tanta simetría.
Nota para los alumnos de 3º y 4º ESO, que tienen que tocar algo de lenguaje algebraico y que saber completar tablas de frecuencias: xi quiere decir cada uno de los valores, mientras que P(xi), su probabilidad, juega el papel de las frecuencias de Estadística.
Vamos por fin a complicar la cosa un punto, usando ya dados diferentes. Si les pedimos que cubran el mismo rango de valores, de 2 a 12, tienen que ser sólo dos dados, ya que si están numerados de 1 en adelante, combinar más de dos dados hará que como mínimo sumen 3: nunca obtendríamos el 2.
Por otro lado, si hemos de atender a los dados no cúbicos más a nuestra disposición, comprobamos que los juegos de dados de rol consisten en los cinco sólidos platónicos, cuyos números de caras son 4, 6, 8, 12 y 20, más dados de 10 caras consistentes en dos pirámides pentagonales unidas por las bases. 6 ya lo conocemos, y 20 son demasiados, pero 8x4 es la otra combinación (aparte de la 6x6) de sólo dos de esos dados que suman 12.
Ahora bien, podríamos también generalizar nuestras ideas referidas a un solo dado y decir: la probabilidad de obtener cualquiera de esos valores de 2 a 12 es la misma. Pero no es así, y de hecho el juego Catan aprovecha esta circunstancia para que los valores más probables tengan más efecto en el juego.
Para ver por qué no todos los valores son igualmente probables, construiremos una útil herramienta llamada "tabla de doble entrada".
Empecemos con una tabla sencilla donde se reflejen los seis valores posibles de un dado cúbico:
Ahora a los alumnos ya no tan jóvenes: consideramos que el dado no está trucado si la probabilidad de obtener cada uno de los valores es la misma, que según Laplace se calcula: uno de los números concretos / total de números, es decir 1/6. Podemos comprobar que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1, o dicho de otra manera, que la probabilidad de que salga un número entre 1 y 6 es del 100 %, como es de esperar de acuerdo a la definición matemática de probabilidad.
Pues bien, ahora combinamos dos dados idénticos, poniendo los valores de uno en una fila y los del otro en una columna, y la suma de cada par en la celda de la misma fila que uno y columna que el otro:
Si hemos sumado con cuidado, obtendremos que los valores posibles son once en total, de 2 a 12. Para determinar la probabilidad de cada uno, podemos fijarnos en que como los valores de cada dado son equiprobables, los de cada celda resultado de los dos dados también lo es, de modo que sólo tenemos que contar cuántas veces aparece cada resultado, siendo, de nuevo según Laplace:
Aquí ya hemos puesto las fracciones en forma de porcentajes, para poder comparar después con lo que obtengamos para otros dados. Este caso es sencillo porque es simétrico: si nos fijamos en las probabilidades empezando por la izquierda son las mismas que por la derecha, pero los porcentajes también nos ayudarán a mantener la referencia cuando no haya tanta simetría.
Nota para los alumnos de 3º y 4º ESO, que tienen que tocar algo de lenguaje algebraico y que saber completar tablas de frecuencias: xi quiere decir cada uno de los valores, mientras que P(xi), su probabilidad, juega el papel de las frecuencias de Estadística.
Vamos por fin a complicar la cosa un punto, usando ya dados diferentes. Si les pedimos que cubran el mismo rango de valores, de 2 a 12, tienen que ser sólo dos dados, ya que si están numerados de 1 en adelante, combinar más de dos dados hará que como mínimo sumen 3: nunca obtendríamos el 2.
Por otro lado, si hemos de atender a los dados no cúbicos más a nuestra disposición, comprobamos que los juegos de dados de rol consisten en los cinco sólidos platónicos, cuyos números de caras son 4, 6, 8, 12 y 20, más dados de 10 caras consistentes en dos pirámides pentagonales unidas por las bases. 6 ya lo conocemos, y 20 son demasiados, pero 8x4 es la otra combinación (aparte de la 6x6) de sólo dos de esos dados que suman 12.
8x4: un octaedro (numerado de 1 a 8) y un tetraedro (de 1 a 4).
La tabla de doble entrada correspondiente es:
La de frecuencias se puede obtener de nuevo contando, teniendo en cuenta que cada celda es una de 32, y hay un 2, dos 3's, tres 4's, cuatro 5's, etc.:
Que también es simétrica y por supuesto suma 100%, pero nivela el temido 7 de Catan con los cuatro valores más próximos.
Las opciones con dos dados ya las hemos cubierto. Pero podemos pensar en otras combinaciones de dados aprovechables para Catan con estos dados habituales:
4x4x4: tres tetraedros.
Para los alumnos de 3º y 4º: la tabla de doble entrada nos sirve para visualizar la combinación de dos experimentos elementales como es la tirada de un dado, pero con tres dados necesitaríamos una especie de cajón con ancho, fondo y alto, una dimensión para cada dado. ¿Cómo nos las podemos arreglar?
Una vía es dar un primer paso con la tabla para sólo dos dados:
Y a continuación tomamos los resultados, los ponemos en la fila de una de las entradas de otra tabla, y en la otra entrada el dado tetraédrico que nos falta:
Ahora bien, hemos de ser cuidadosos y precisos con el cálculo de las probabilidades. Hasta ahora nos habíamos encontrado con entradas equiprobables, pero la fila que obtenemos con los resultados de la tabla 4x4 no es así, ya que 2 y 8 tienen una probabilidad de 1/16 = 6,25 %, 3 y 7 2/16 = 12,50 %, etc.
Por tanto la probabilidad de cada celda de nuestra tabla 4x4x4 ha de obtenerse según el método general para las tablas de doble entrada, que es poniendo en cada celda de las dos entradas la correspondiente probabilidad, y en la celda resultado el producto de la fila y columna correspondiente.
Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que con tres dados tetraédricos obtengamos un 3 tenemos que multiplicar la de obtener un 2 con 4x4 (1/16) por la de un 1 con el tercer dado (1/4), resultando 1/64 = 1,56 %.
Pero para obtener un 4 hemos de tener en cuenta que en un caso viene por un lado de obtener 3 con dos dados + 1 con el otro, y por el otro de obtener 2 con dos dados y 2 con otro. Es decir, las diferentes celdas donde resulta cada valor tienen en general probabilidades diferentes, y hay que calcularlas por separado y luego sumarlas.
Dejo como ejercicio obtener la tabla de probabilidades para 4x4x4:
Donde incluyo el 2 para evidenciar que nunca va a salir con tres dados numerados a partir de 1. Qué hacer con el 2 es algo que queda a nuestros criterios como jugadores de Catan (¡sí, estábamos haciendo todos estos cálculos sólo por dar alguna vuelta más al juego!). Personalmente yo, para no dejar la celda del 2 tan estéril como el desierto, optaría por ejemplo por considerar que 2 se activa cuando sale un 12, con lo que tendría la misma probabilidad que éste, por escasa que fuera, pero no nula al menos. En otras palabras, la celda del 2 pasaría a ser de 12.
Hasta aquí las combinaciones de dados que me parecen practicables durante el juego: 6x6, 8x4 y 4x4x4. Pero como ya hemos roto el principio de combinar para obtener resultados sólo de 2 a 12, porque con el 4x4x4 obtenemos de 3 a 12, podemos seguir en esa línea y usar no una combinación sino:
12: un solo dado dodecaédrico.
Sus doce caras nos darán valores de 1 a 12, equiprobables, con lo cual la distribución de probabilidades es elemental y sólo nos obliga preguntarnos qué hacer con el 1 en la partida de Catan. Una opción sería desestimarlo directamente y cada vez que saliera volver a tirar. Otra, darle un uso específico dentro de alguna variante del juego, como por ejemplo un uso alternativo del ladrón: devolverlo al desierto, usarlo para obtener recursos de la celda donde se coloque... Otra posibilidad que no requiere demasiadas variantes es considerar que el 1 tiene el mismo resultado que el temido 7 que activa el ladrón; en definitiva, todos los valores de 2 a 12 tendrían la misma probabilidad, salvo el 7, que tendría el doble. Por plasmarlo en la habitual tabla de probabilidades:
Casualmente, resulta que la probabilidad del 7 usando el dodecaedro de esta manera es la misma que tenía con la combinación de dados 6x6. Con lo cual la diferencia a la hora de jugar sólo está en que la probabilidad de que se active cualquier celda de recursos es la misma, teniéndose que escoger los lugares donde construir poblado exclusivamente por su variedad de recursos o disponibilidad de puerto.
Pero vayamos un paso más allá en nuestras variaciones con dados.
En nuestra intención de sumar 12, no vamos a dejar de recordar que éste es un número con muchos divisores: 2, 3, 4 y 6. Dados de 6 y 4 caras ya los hemos visto, pero nos podemos preguntar si no existirían dados de 2 y 3 caras. Pues los hay.
Para empezar, si nos acordamos de los sólidos platónicos, o de los poliedros en general, ni con dos ni con tres caras podemos construir un poliedro, pero no quiere decir que no podamos concebir un objeto tal que al arrojarlo contra uns superficie nos muestre al pararse una de 2 o una de 3 caras con una aceptable aleatoriedad.
Aparte de opciones ingeniosas (como esta o esta), podríamos simplemente darnos cuenta de que 2 y 3 son los divisores de 6, y como el hexaedro o cubo es el dado más abundante, podríamos incluso tallar sin ser expertos ebanistas sendos dados cúbicos, grabando en uno los valores 1, 2, 3 por duplicado, cada uno en dos caras opuestas, y el otro dado 1, 2 por triplicado.
Pero hay opciones más sencillas que esa. Para empezar, un prisma triangular con las bases suficientemente pequeñas, o redondeadas, caerá siempre sobre una cara lateral; el inconveniente es que no mostraría hacia arriba una cara sino una arista, problema que habría que solventar por ejemplo colocando el valor resultante en la arista y no en la cara (de modo parecido a como se hace con el dado tetraédrico, en que el valor resultante está en el vértice).
En cuanto a un dado de 2 caras, lo usamos de hecho habitualmente para resolver los sorteos más sencillos: es ni más ni menos que una moneda. Si asignamos a una de sus caras el valor 1 y a la otra el 2, ya tenemos nuestro dado.
Y si queremos hacer combinaciones con esos dados, las más sencillas serían 3x3x3x3 y 2x2x2x2x2x2. Vamos complicando la cosa, ya más que nada por el ejercicio matemático, porque francamente, tener que calcular un resultado sumando los valores obtenidos en cuatro o seis dados empieza a ser un poco impracticable.
3x3x3x3: cuatro dados de 1 a 3.
Para calcular las probabilidades, aún nos podemos aferrar a nuestra tabla de doble entrada de manera parecida a como hemos hecho con el 4x4x4. Primero calculamos con una tabla 3x3, con entradas equiprobables:
Aquí las probabilidades son muy sencillas: 2 y 6 tienen 1/9 = 11,11 %; 3 y 5, 2/9 = 22,22 %, y 4, 3/9 = 1/3 = 33,33 %.
A continuación ponemos los resultados de esta tabla como ambas entradas de otra:
Queda como ejercicio obtener las probabilidades:
2x2x2x2x2x2: seis monedas con valores 1 y 2.
Hasta ahora nos arreglábamos con tablas de doble entrada, pero ya con seis monedas, las combinaciones empiezan a ser inmanejables con esa herramienta.
Podemos sin embargo volver al viejo sistema de contar posibilidades equiprobables. Me explico: para obtener cada uno de los posibles valores de esta combinación, necesitamos que salga un número determinado de 1's y 2's: para el mínimo de 6, todo 1's; para un 7, sólo un 2, etc. De modo que basta con contar todas las permutaciones con repetición que se obtienen con seis 1's o 2's. Podemos intentar hacerlo a lo bruto, escribiéndolas una a una, y así obtendremos 64 opciones diferentes, con sólo una para que resulte un 6 o un 12, seis para un 7 o un 11, etc.
Pero para los alumnos de Bachillerato, ya acostumbrados al lenguaje algebraico: la manera más rápida de contar esta clase de permutaciones tiene su propia fórmula:
Aquí, a sería el número de 1's y b el de 2's, por ejemplo, y siempre n = a + b = 6, el número de dados. Tendríamos que calcular, como hemos dicho arriba, para a = 6 y b = 0, a = 5 y b = 1... hasta a = 0 y b = 6.
En cualquier caso, llegamos a esta tabla de probabilidades:
Por supuesto que con seis dados nunca obtenemos menos de un 6, y el máximo es 12 porque era nuestro criterio inicial. Después de tantas vueltas con dados, nos queda claro que cuantos más dados con valor mínimo 1, más alto es el valor mínimo, y esto no es lo que buscábamos para el juego, a pesar de que con la combinación de 4x4x4 dados pudimos sortear el problema.
¿Cómo escogemos monedas de modo que, primero, lleguen a 12, y segundo, empiecen desde 2, que es lo que necesitamos para Catan?
Aun manteniéndonos en las monedas, podemos primero pensar en romper el principio de que los dados estén numerados desde 1. Si convertimos cada punto hasta 12 en una moneda que puede decir "se suma - no se suma" tendríamos doce monedas numeradas 0 - 1. Pero de esta manera el valor mínimo es 0 y no 2, así que necesitamos elevar el mínimo a la vez que mantenemos el máximo, lo que se consigue aumentando en +1 los valores de dos de los dados, para desplazar todos los posibles valores que obtendríamos tirando esas monedas en +2. Hecho esto, de todas formas, necesitamos reducir el máximo en otros dos puntos, para lo cual eliminamos dos de las monedas con valores 0 - 1. De ese modo nos quedamos con:
2x2x1x1x1x1x1x1x1x1: dos monedas con valores 1 y 2 y ocho con 0 y 1.
Para calcular las probabilidades de éstas podemos usar las varias herramientas usadas hasta ahora:
- tabla de doble entrada para el 2x2:
- permutaciones con repetición para todas las combinaciones de diez 1's y 0's, calculadas una a una entre a = 0 y b = 10 y a = 10 y b = 1 (queda como ejercicio);
- combinación en otra tabla de doble entrada con valores de entrada no equiprobables:
Resultando de esta última la tabla de probabilidades:
Para los alumnos de 2º Bachillerato: ésta y la de 2x2x2x2x2x2 son distribuciones binomiales, que se apreciarán mejor más abajo.
Hasta aquí combinaciones de dados. Insisto en que usar más de tres dados me parece impracticable en el juego, por el incordio que supondría contar tantos valores y sumarlos. Sólo voy a dar unos pasos más que servirán de recapitulación general de las diferentes combinaciones vistas.
Gráficas.
Si reflexionamos un poco, tenemos una colección de tablas de probabilidades referidas a la misma serie de números, los naturales de 2 a 12. Pues algo que todos los alumnos de la ESO y Bachillerato sabrán hacer es representar las probabilidades en el eje de ordenadas (vertical) y los valores en el de abscisas (horizontal), con lo cual tenemos:
Realizada con Excel, al alcance de cualquiera y que recomiendo encarecidamente como contenido transversal entre Tecnología y Matemáticas en la ESO. En el caso del dodecaedro (12) he aplicado la mencionada regla para Catan de que el 1 es también un 7. No he representado las probabilidades nulas para evidenciar los valores mínimos y otras características: simetría, media y concentración, que los alumnos de 3º ESO en adelante (y por tanto todo adulto medianamente competente) han de comprender.
Como habíamos dicho arriba, comprobamos la silueta de la distribución binomial en la 2x2x2x2x2x2, sobre todo si la comparamos con las otras simétricas respecto al 7. También comprobamos que las distribuciones se acercan a la binomial cuantos más dados, y de menores valores, usamos.
La simetría se aprecia fácilmente: la gráfica de cada combinación de dados (color) tendría la misma forma si damos la vuelta al eje en torno a su referencia de simetría, que para el caso es otro eje vertical situado en la media aritmética, que es la medida de centralidad más utilizada. Si recordamos el paralelismo entre probabilidad y frecuencia, la media la calculamos multiplicando cada valor por su probabilidad, y de manera muy esperable, obtenemos:
Vemos más claramente que nunca que cuantos más dados numerados a partir de 1, más desplazada a valores altos está la distribución de valores obtenibles, lo cual es un argumento añadido a que con más de tres dados la jugabilidad se compromete.
Hemos de notar que si en el caso de 12 caras dejamos la probabilidad del 1 en su lugar original el lugar de asignársela al 7, la media del dado dodecaédrico baja a 6,5, justo el punto medio entre el mínimo y el máximo, como ocurre en una distribución simétrica.
La última característica en que nos fijaremos es la concentración de los valores. Observándo las gráficas, queda claro que unas combinaciones de dados favorecen más a los valores centrales (como ocurría en la 6x6 original) y otras nivelan más (caso máximo el de 12).
¿Podemos inventarnos una manera cuantitativa, un parámetro, que nos indique, de manera más fiable que un vistazo a las gráficas, la concentración? La Estadística tiene un arsenal de estas medidas de dispersión; en nuestro caso podemos por ejemplo construir la más sencilla: la desviación media. Para alumnos de 3º ESO en adelante: es fácil de razonar. Si queremos ver cuánto se desvía cada valor de la media para luego sumarlos, obtendremos un 0 bien redondo, ya que unos valores se desvían por defecto y otros por exceso y acaban por cancelarse. Lo que tenemos que hacer es tomar el valor absoluto ("sin signo") de la diferencia de cada uno, y finalmente hacer la media por si queremos comparar con series de valores diferentes de los once que nos ocupan. Los programas de hoja de cálculo disponen de esta función ya construida, pero es más entretenido programarla "a mano" con las operaciones aritméticas básicas y los valores absolutos (que dejo de nuevo como ejercicio de hoja de cálculo). De esa manera obtenemos:
Cuanto menor es Dm, más se concentran las probabilidades en torno al valor medio, y más desigual será la explotación de recursos en Catan. Así, las cuatro combinaciones de dados que me parecen practicables se ordenan de más desigual a menos: 4x4x4, 6x6, 8x4 y 12 (considerada en este caso la acumulación del 1 al 7).
Pero vayamos un paso más allá en nuestras variaciones con dados.
En nuestra intención de sumar 12, no vamos a dejar de recordar que éste es un número con muchos divisores: 2, 3, 4 y 6. Dados de 6 y 4 caras ya los hemos visto, pero nos podemos preguntar si no existirían dados de 2 y 3 caras. Pues los hay.
Para empezar, si nos acordamos de los sólidos platónicos, o de los poliedros en general, ni con dos ni con tres caras podemos construir un poliedro, pero no quiere decir que no podamos concebir un objeto tal que al arrojarlo contra uns superficie nos muestre al pararse una de 2 o una de 3 caras con una aceptable aleatoriedad.
Aparte de opciones ingeniosas (como esta o esta), podríamos simplemente darnos cuenta de que 2 y 3 son los divisores de 6, y como el hexaedro o cubo es el dado más abundante, podríamos incluso tallar sin ser expertos ebanistas sendos dados cúbicos, grabando en uno los valores 1, 2, 3 por duplicado, cada uno en dos caras opuestas, y el otro dado 1, 2 por triplicado.
Pero hay opciones más sencillas que esa. Para empezar, un prisma triangular con las bases suficientemente pequeñas, o redondeadas, caerá siempre sobre una cara lateral; el inconveniente es que no mostraría hacia arriba una cara sino una arista, problema que habría que solventar por ejemplo colocando el valor resultante en la arista y no en la cara (de modo parecido a como se hace con el dado tetraédrico, en que el valor resultante está en el vértice).
En cuanto a un dado de 2 caras, lo usamos de hecho habitualmente para resolver los sorteos más sencillos: es ni más ni menos que una moneda. Si asignamos a una de sus caras el valor 1 y a la otra el 2, ya tenemos nuestro dado.
Y si queremos hacer combinaciones con esos dados, las más sencillas serían 3x3x3x3 y 2x2x2x2x2x2. Vamos complicando la cosa, ya más que nada por el ejercicio matemático, porque francamente, tener que calcular un resultado sumando los valores obtenidos en cuatro o seis dados empieza a ser un poco impracticable.
3x3x3x3: cuatro dados de 1 a 3.
Para calcular las probabilidades, aún nos podemos aferrar a nuestra tabla de doble entrada de manera parecida a como hemos hecho con el 4x4x4. Primero calculamos con una tabla 3x3, con entradas equiprobables:
Aquí las probabilidades son muy sencillas: 2 y 6 tienen 1/9 = 11,11 %; 3 y 5, 2/9 = 22,22 %, y 4, 3/9 = 1/3 = 33,33 %.
A continuación ponemos los resultados de esta tabla como ambas entradas de otra:
Queda como ejercicio obtener las probabilidades:
2x2x2x2x2x2: seis monedas con valores 1 y 2.
Hasta ahora nos arreglábamos con tablas de doble entrada, pero ya con seis monedas, las combinaciones empiezan a ser inmanejables con esa herramienta.
Podemos sin embargo volver al viejo sistema de contar posibilidades equiprobables. Me explico: para obtener cada uno de los posibles valores de esta combinación, necesitamos que salga un número determinado de 1's y 2's: para el mínimo de 6, todo 1's; para un 7, sólo un 2, etc. De modo que basta con contar todas las permutaciones con repetición que se obtienen con seis 1's o 2's. Podemos intentar hacerlo a lo bruto, escribiéndolas una a una, y así obtendremos 64 opciones diferentes, con sólo una para que resulte un 6 o un 12, seis para un 7 o un 11, etc.
Pero para los alumnos de Bachillerato, ya acostumbrados al lenguaje algebraico: la manera más rápida de contar esta clase de permutaciones tiene su propia fórmula:
Aquí, a sería el número de 1's y b el de 2's, por ejemplo, y siempre n = a + b = 6, el número de dados. Tendríamos que calcular, como hemos dicho arriba, para a = 6 y b = 0, a = 5 y b = 1... hasta a = 0 y b = 6.
En cualquier caso, llegamos a esta tabla de probabilidades:
Por supuesto que con seis dados nunca obtenemos menos de un 6, y el máximo es 12 porque era nuestro criterio inicial. Después de tantas vueltas con dados, nos queda claro que cuantos más dados con valor mínimo 1, más alto es el valor mínimo, y esto no es lo que buscábamos para el juego, a pesar de que con la combinación de 4x4x4 dados pudimos sortear el problema.
¿Cómo escogemos monedas de modo que, primero, lleguen a 12, y segundo, empiecen desde 2, que es lo que necesitamos para Catan?
Aun manteniéndonos en las monedas, podemos primero pensar en romper el principio de que los dados estén numerados desde 1. Si convertimos cada punto hasta 12 en una moneda que puede decir "se suma - no se suma" tendríamos doce monedas numeradas 0 - 1. Pero de esta manera el valor mínimo es 0 y no 2, así que necesitamos elevar el mínimo a la vez que mantenemos el máximo, lo que se consigue aumentando en +1 los valores de dos de los dados, para desplazar todos los posibles valores que obtendríamos tirando esas monedas en +2. Hecho esto, de todas formas, necesitamos reducir el máximo en otros dos puntos, para lo cual eliminamos dos de las monedas con valores 0 - 1. De ese modo nos quedamos con:
2x2x1x1x1x1x1x1x1x1: dos monedas con valores 1 y 2 y ocho con 0 y 1.
Para calcular las probabilidades de éstas podemos usar las varias herramientas usadas hasta ahora:
- tabla de doble entrada para el 2x2:
- combinación en otra tabla de doble entrada con valores de entrada no equiprobables:
Resultando de esta última la tabla de probabilidades:
Para los alumnos de 2º Bachillerato: ésta y la de 2x2x2x2x2x2 son distribuciones binomiales, que se apreciarán mejor más abajo.
Hasta aquí combinaciones de dados. Insisto en que usar más de tres dados me parece impracticable en el juego, por el incordio que supondría contar tantos valores y sumarlos. Sólo voy a dar unos pasos más que servirán de recapitulación general de las diferentes combinaciones vistas.
Gráficas.
Si reflexionamos un poco, tenemos una colección de tablas de probabilidades referidas a la misma serie de números, los naturales de 2 a 12. Pues algo que todos los alumnos de la ESO y Bachillerato sabrán hacer es representar las probabilidades en el eje de ordenadas (vertical) y los valores en el de abscisas (horizontal), con lo cual tenemos:
Realizada con Excel, al alcance de cualquiera y que recomiendo encarecidamente como contenido transversal entre Tecnología y Matemáticas en la ESO. En el caso del dodecaedro (12) he aplicado la mencionada regla para Catan de que el 1 es también un 7. No he representado las probabilidades nulas para evidenciar los valores mínimos y otras características: simetría, media y concentración, que los alumnos de 3º ESO en adelante (y por tanto todo adulto medianamente competente) han de comprender.
Como habíamos dicho arriba, comprobamos la silueta de la distribución binomial en la 2x2x2x2x2x2, sobre todo si la comparamos con las otras simétricas respecto al 7. También comprobamos que las distribuciones se acercan a la binomial cuantos más dados, y de menores valores, usamos.
La simetría se aprecia fácilmente: la gráfica de cada combinación de dados (color) tendría la misma forma si damos la vuelta al eje en torno a su referencia de simetría, que para el caso es otro eje vertical situado en la media aritmética, que es la medida de centralidad más utilizada. Si recordamos el paralelismo entre probabilidad y frecuencia, la media la calculamos multiplicando cada valor por su probabilidad, y de manera muy esperable, obtenemos:
Vemos más claramente que nunca que cuantos más dados numerados a partir de 1, más desplazada a valores altos está la distribución de valores obtenibles, lo cual es un argumento añadido a que con más de tres dados la jugabilidad se compromete.
Hemos de notar que si en el caso de 12 caras dejamos la probabilidad del 1 en su lugar original el lugar de asignársela al 7, la media del dado dodecaédrico baja a 6,5, justo el punto medio entre el mínimo y el máximo, como ocurre en una distribución simétrica.
La última característica en que nos fijaremos es la concentración de los valores. Observándo las gráficas, queda claro que unas combinaciones de dados favorecen más a los valores centrales (como ocurría en la 6x6 original) y otras nivelan más (caso máximo el de 12).
¿Podemos inventarnos una manera cuantitativa, un parámetro, que nos indique, de manera más fiable que un vistazo a las gráficas, la concentración? La Estadística tiene un arsenal de estas medidas de dispersión; en nuestro caso podemos por ejemplo construir la más sencilla: la desviación media. Para alumnos de 3º ESO en adelante: es fácil de razonar. Si queremos ver cuánto se desvía cada valor de la media para luego sumarlos, obtendremos un 0 bien redondo, ya que unos valores se desvían por defecto y otros por exceso y acaban por cancelarse. Lo que tenemos que hacer es tomar el valor absoluto ("sin signo") de la diferencia de cada uno, y finalmente hacer la media por si queremos comparar con series de valores diferentes de los once que nos ocupan. Los programas de hoja de cálculo disponen de esta función ya construida, pero es más entretenido programarla "a mano" con las operaciones aritméticas básicas y los valores absolutos (que dejo de nuevo como ejercicio de hoja de cálculo). De esa manera obtenemos:
Cuanto menor es Dm, más se concentran las probabilidades en torno al valor medio, y más desigual será la explotación de recursos en Catan. Así, las cuatro combinaciones de dados que me parecen practicables se ordenan de más desigual a menos: 4x4x4, 6x6, 8x4 y 12 (considerada en este caso la acumulación del 1 al 7).
