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11/08/2022

Resumen de Al-Andalus para estudiantes de ESO

Disculpe el lector la ausencia de referencias, debida a que se me ha pedido el texto inesperadamente y me suscita cierta urgencia.

Al-Andalus es como llamaban los árabes a la Península Ibérica. Hay quien dice que el nombre es una deformación:

  • de Vandalicia (lote de tierras que habían tocado a los vándalos 300 años antes de que los árabes llegaran a la Península); o
  • de Atlantis (de acuerdo a una interpretación occidental de la Biblia que consideraba que la mítica isla de Platón era en realidad la tierra que cerraba el Mediterráneo por el Oeste; interpretación que dio también en que Breogán, Ith y otros personajes legendarios irlandeses se interpretasen como procedentes de España y no de su original tierra de seres semidivinos más allá del océano occidental);
  • además de otras posibles etimologías propuestas.
En cualquier caso, Al-Andalus se refiere al reino visigodo de España después de que los árabes+moros+musulmanes, gracias a la división del reino y a ciertas ventajas en técnica militar, tomaran su control (y, de paso, trasladaran la capital desde Toledo a Córdoba, capital de la provincia España Bética desde tiempos de Roma).

El dominio árabe del reino y la Península sólo correspondió con todo el territorio en el primer momento (primera mitad del s. VIII); ya que desde mediados del s. VIII la rebelión de los beréberes sometidos a los árabes permitió la consolidación de un reino cristiano centrado en Asturias y luego en León, mientras que en el nordeste del reino los francos se hicieron primero con el control de la parte del reino entre los Pirineos y el río Ródano (que hoy no pertenece a España sino a Francia) y luego de la Marca Hispánica al sur de los Pirineos.

Tras una nueva guerra civil en el califato islámico, en que la dinastía omeya fue derrotada y casi exterminada por su rival la abasí, el heredero de los omeyas, Abderramán, huyó a Al-Andalus, donde estableció su emirato (señorío) independiente de los abasíes. Sus descendientes reclamaron también la supremacía religiosa como califas.

Este estado unificado de Al-Andalus dominado por los musulmanes perduró unos tres siglos desde la conquista hasta su fragmentación en los primeros reinos de taifas, la mala fama de cuya división se ha hecho proverbial en la lengua española. Estos pequeños reinos guerreaban unos contra otros lo mismo que los varios reinos cristianos entre sí en un auténtico juego de tronos de alianzas que se hacían y deshacían, pero con el paso del tiempo los cristianos cobraron conciencia de un objetivo a largo plazo: recuperar el reino godo bajo el dominio cristiano; y ante esto la frontera entre Islam y Cristiandad se fue moviendo hacia el sur, con ocasionales retrocesos puntuales.

Algunas de las taifas no dejaron de mostrar en varias ocasiones un esplendor económico y cultural, pero en lo político y militar la debilidad fue la norma, y llegaron a pedir en varias ocasiones ayuda a señores guerreros moros ya islamizados del noroeste de África (almorávides, almohades, benimerines), que ejercieron sobre ellos un dominio temporal antes de que se volviese a la división en taifas.

Después del período de los segundos reinos de taifas el territorio dominado por musulmanes era tan pequeño y compacto geográficamente que sólo podía dar lugar a un reino, el de Granada, cuyo territorio corresponde aproximadamente con las actuales provincias de Málaga, Granada y Almería. Más de dos siglos duró este último reino de Granada, hasta caer presa de la división interna y las armas de la Corona de Castilla. Desde entonces el símbolo de una granada forma parte del escudo de España.

Aparte del enorme flujo cultural (procedente de la Antigüedad clásica, de los árabes, de Persia y más allá) que a través de Al-Andalus pasó a Europa, políticamente las divisiones de Al-Andalus y las etapas de su conquista por los reinos cristianos borraron la antigua división de la Península en provincias, que con pocas variaciones venía de Roma, y formó la base de la división de varios de los reinos/regiones y de algunas de las provincias de España.

06/03/2021

Tema de funciones y rectas, Matemáticas 2º ESO

A continuación tenéis una colección de materiales con los que casi podríais desde casa e incluso sin siquiera ayuda del profesor aprender el tema de Rectas tal como lo quiero enfocarlo.

Están por tanto ordenados en la manera en que deberíais verlos vosotros solos, si bien obviamente podéis utilizar los que os convenga en diferentes momentos para preparar o ampliar lo visto en clase:


Vídeos:

Empezamos por unas clases en las que no podéis preguntar o, como mucho, si preguntáis y tenéis suerte de que os respondan, es al cabo de un tiempo (eso lo repito para que os deis cuenta de que en clase es donde tenemos que aprovechar para preguntar dudas al profesor).

Cómo plasmar rectas y otras funciones (Khan Academy): aquí tenéis el primer paso de cómo plasmar una función en una gráfica de ejes coordenados. Hasta esto habíamos llegado el curso pasado.

[Khan Academy tiene vídeos de lecciones completas ¡traducidos al español!]

Cómo hallar la ecuación de la recta (Susi Profe): de este modo hacemos el mismo camino que antes pero en sentido contrario a lo de arriba. El concepto es más difícil, por eso es el primer año que lo vemos.

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones (Susi Profe): esto es el remate del tema, que consiste en aplicar lo que sabemos de rectas, nuevo y antiguo, a lo que hemos aprendido en el tema anterior sobre sistemas de ecuaciones.

[Susi Profe comprobaréis que suele explicar parecido a como lo hago yo en clase, por lo que os animo a que exploréis otros vídeos relacionados con lo que vemos aquí. Ojo que tiene muchos niveles diferentes, que no tienen por qué corresponder con vuestro curso.]


Boletín:

El boletín que os he entregado es la recopilación con que exploraremos toda la variedad de aplicaciones con que nos tenemos que quedar, que iremos proponiendo como deberes de día en día y que resolveremos en el aula.


Herramientas interactivas:

Interactivo PhET de rectas: en mis tiempos teníamos que hacer un montón de ejercicios para darnos cuenta de cómo afectaban los parámetros de la fórmula a la gráfica, y viceversa. Con este interactivo movéis un poco los mandos y veis tanto en un minuto como yo en mi día en una hora.

[PhET tiene un montón de interactivos que se aplican a la mayoría de temas de la mayoría de cursos, y no sólo Mateas, sino también las ciencias naturales. ¡Comentádselo a vuestros profes!] 

Representadores de funciones:

MathsIsFun dispone de muchas herramientas, y ésta es especialmente útil para este tema. Escribiendo la fórmula en la forma y = (x) os la representa al momento. Un punto interesante es que podéis representar hasta cinco funciones a la vez.

GeoGebra: de los más famosos


Ejercicios para hacer gimnasia matemática:

Una vez estéis fogueados en los conceptos con lo anterior, deberéis ir haciendo más que lo visto en clase practicando con los siguientes boletines, seleccionados por parecerme particularmente apropiados para cómo llevaremos el tema:

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/05094.pdf

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/01418.pdf

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/05099.pdf

En estos tres anteriores tenéis sólo gráficas y rectas.

http://yoquieroaprobar.es/_pdf/32281.pdf: en esta última se practica la resolución de sistemas de ecuaciones con algunas gráficas, por lo que es especialmente apropiado para repasar el tema anterior.

[En YoQuieroAprobar tenéis un montón de fichas con ejercicios y problemas, tanto sin solución como con ella y con la resolución entera, así como fichas de teoría, algún interactivo y pruebas para que os autoexaminéis.]


Propuesta de trabajo: gráfica en hoja de cálculo.

Consiste en ser capaz de elaborar con hoja de cálculo (LibreOffice Calc, Office Excel, etc.) una tabla de valores escribiendo en una columna los valores y en otro la fórmula de la función, y a partir de ella elaborar una gráfica en la misma hoja.

[Las hojas de cálculo no son la herramienta idónea ni más ágil para representar funciones, pero hoy por hoy tienen gran utilidad cotidiana en la vida privada tanto como en un negocio.]


Juego: pista de carreras.


Material avanzado:

Ficha de situaciones de movimiento: en esta selección figura una explicación que, si comprendéis bien este tema, os adelantará algo de la asignatura de Física. Recordad que la realidad no está dividida en asignaturas.

Interactivo PhET de parábolas: esta clase de ecuaciones la estudiaremos a final de curso, y la gráfica en el curso que viene, pero podéis entreteneros con los mandos para quedaros con el concepto.

Juego matemático de la pista de carreras

Con este juego os pondréis a pensar en el ámbito de la Cinemática. Siento deciros que no podéis jugarlo en la brillante pantalla de vuestro móvil, porque la rayaríais. Bastan una hoja cuadriculada y un bolígrafo de un color diferente por cada jugador.

Cada jugador dibujará, en los vértices de la cuadrícula, una sucesión de puntos que representan  las posiciones de su vehículo.

La pista requiere de salida, recorrido y meta, como podríamos suponer. La salida es un segmento horizontal con anchura suficiente para que cada jugador esté en un vértice diferente justo antes de ella. La meta es otro segmento, que puede estar inclinado, con aproximadamente el mismo tamaño. El recorrido ha de ser lo más sinuoso y amplio posible, y conviene que vaya variando un tanto en anchura, sin angosturas ni explanadas exageradas; se traza delimitando sus bordes entre salida y meta.

A partir del punto inicial, los jugadores "mueven" (dibujan) por turnos (se ha de decidir por algún método quién comienza). Las reglas de movimiento son las siguientes:
  1. El segmento que una el vértice inicial con el de destino en ese turno debe estar contenido dentro de la pista. El coche que intente pasar por encima del borde de la pista colisiona contra los muros y queda eliminado.
  2. Dos coches no pueden ocupar el mismo punto en el mismo turno (una manera de comprobarlo es que dos trayectorias no pueden acabar en el mismo punto en ningún turno). Los coches que coincidan colisionan y quedan ambos eliminados.
  3. La posición de cada jugador viene determinada por la velocidad, pero a su vez ésta por la aceleración: aquí es donde entramos de lleno en la Cinemática:
    1. De un turno al siguiente, el cambio de la posición es la velocidad. Inicialmente los coches están en la salida, y se irán desplazando de acuerdo al tamaño y dirección de su velocidad para realizar el recorrido en el mínimo número de turnos.
    2. De un turno al siguiente, la velocidad puede cambiar en una cantidad que llamamos aceleración. Inicialmente los coches están inmóviles en la salida, por lo que necesitarán ir cambiando su velocidad en diferentes direcciones. Y decimos bien, cambiando y no sólo aumentando, porque si adquieren demasiada velocidad podría ocurrir que no pudiesen tomar una curva a tiempo y colisionasen contra el muro.
    3. La aceleración, es decir, el cambio de la velocidad, puede ser -1, 0 o 1 en cada una de las dos direcciones (horizontal y vertical).
Pues bien, a generar pistas ¡y a la carrera! (Una recomendación: intentad imaginar una manera de visualizar y representar tanto la velocidad como la aceleración, ya que la posición es en lo que consisten los propios puntos.)

[Extraído de Gardner, Martin (2010), Rosquillas anudadas. Barcelona, RBA, p. 119.]

18/12/2018

Cortar una tortilla (matemáticamente hablando)

Voy a dejar de una vez por todas en abierto en el blog un problema de Matemáticas que compendia casi todas las que un alumno de 2º de ESO tiene que haber visto, salvo un poco de Estadística y Probabilidad.
Surgió y se me fue ocurriendo el curso pasado durante una clase de 1º ESO pero, dentro del currículo actual, el primer curso al que me parece razonable aplicarlo es el de 2º.
Puedo decir que ya dicho pasado curso ha proporcionado la hora de clase más vibrante y productiva que he vivido hasta ahora, precisamente en 2º ESO, y tengo intención de irlo puliendo curso tras curso con la intención de que se convierta en un proyecto de todo un curso, trabajado poco a poco por los alumnos, para el que puedan anticiparse, investigando, a la impartición de determinados contenidos (geometría cae típicamente entre el 2º y 3er trimestres), y que vayan resolviendo poco a poco con orientación del profesor.
Ahí va planteado:

Como todos sabemos, lo usual de las tortillas, como muchos otros manjares cocinados en sartén, es hacerlas de la forma de la dicha sartén, esto es, circular.

Ahora bien, si por un lado es habitual cortarla en sectores circulares (coloquialmente llamados quesitos, como los de Trivial Pursuit), también es cierto que cuando se quieren hacer muchas raciones (p.ej. para una fiesta) es más práctico tajarla haciendo cuerdas de circunferencia para sacarle cuadrados.

Lo malo es que en ese caso necesariamente nos sobran los bordes redondos, dejándonos con la duda de si colocarlos también para los invitados, comérnoslos e inflarnos a base de bordes, etc. Un dilema.

Por tanto vamos a darle vueltas al asunto y vamos a ver cómo podemos cortar la tortilla bajo las siguientes condiciones:
  1. Partimos de una tortilla circular, y queremos cortarla en porciones todas de la misma fracción, 1/10, del área total.
  2. Primero, tenemos que sacarle el máximo posible de porciones cuadradas.
  3. Pero es indispensable que con los bordes que nos sobren podamos estar seguros de cortar y componer porciones también de 1/10 del área, aunque no sean cuadradas.
Tenéis todo el curso para resolverlo. No lo haréis solos, porque el profesor estará para escucharos y daros pistas, además de para poneros nota al final. Pero no os lo hará él; tenéis que buscar vosotros mismos información sobre cómo hacerlo. Cada vez que alguno de los grupos crea que ha hecho un descubrimiento, debe indicarlo al profesor para que dediquemos una clase a debatirlo entre todos. Los grupos que sean capaces de exponerlo y responder competentemente a las preguntas de los compañeros y del profesor, se ahorrarán el primer examen de la 3ª evaluación, correspondiente al tema de Geometría.

Por cierto que los Departamentos de Lengua Castellana, Lengua Gallega, Francés e Inglés están encantados de que anotéis todas las dudas referidas al idioma en que hagáis el trabajo para resolverlas con ellos y que también os den puntos en sus asignaturas. Asimismo los Departamentos de Geografía e Historia y de Biología y Geología ofrecen suculenta recompensa por que tratéis aspectos correspondientes a dichas materias (historia de la tortilla, historia de la patata, composición de la patata, etc.).

En cuanto a Matemáticas, por ahora, sólo unas primeras pistas, en forma de listado de puntos que deberíais encontrar en el camino de la resolución:
  • cuadratura del círculo,
  • fórmula del área del círculo,
  • teorema de Pitágoras,
  • filas y columnas,
  • expresiones algebraicas,
  • redondeo y soluciones aproximadas.

Y ya son muchas pistas.

Para finalizar, un par de curiosidades simpáticas sobre la tortilla: una histórico-culinaria, la otra un auténtico malabarismo.

10/12/2018

Una nueva organización de centro escolar

Esta entrada continúa la serie de las dedicadas a los cambios necesarios en el sistema educativo. En particular, movido por la última sobre inclusión y didáctica, voy a plantear lo que para mí sería la organización ideal de un centro escolar, que siguiese en cualquier caso los principios que he defendido en todas las anteriores.

Adaptación psicológica.
Hoy en día la rigidez de los métodos didácticos y procedimientos de evaluación produce que la gran mayoría de alumnos sean tratados en conjunto, siendo las medidas de atención a la diversidad una excepción a esa regla general. En cambio, como ya he dicho, la atención a la diversidad debería ser practicada por defecto, con el objetivo supremo de la eficiencia en el aprendizaje, de acuerdo a los diferentes estilos de aprendizaje (El bosque pedagógico, p. 98).
Un cuerpo de psicólogos de la educación debería trabajar constantemente y en el aula apoyando a los profesores y para agrupar a los alumnos según tipos psicológicos, con los que formar grupos de alumnos, organizados por centro o por zona. De hecho, podrían constituir ellos el equipo de tutores (o la mayor parte del mismo) con el orientador como jefe, de modo que, en paralelo, los profesores de cada área pudiesen formarse y centrarse en las metodologías didácticas óptimas tanto para cada área como para cada tipo psicológico; si no todos los docentes formándose por defecto en todos los tipos, sí a modo de méritos del profesor que le habilitarían para impartir en los correspondientes grupos, de igual modo que hoy existen capacitaciones en idiomas, habilitaciones, etc.

Flexibilidad de grupos.
Por defecto los agrupamientos deberían hacerse por materias, también atendiendo a la diversidad de inteligencias en el alumnado, rompiendo con los grupos estancos: cada alumno debe tener una programación de horario personalizada (lo cual no quiere decir que haya una programación diferente por cada alumno, sino que para determinar su programación, cada alumno tendría múltiples opciones de un abanico limitado).

Ruptura de cursos.
En relación con lo anterior, la estructura de cursos debe dejar de centrar la organización del centro. El desarrollo del currículo debe ajustarse a las capacidades psicológicas del alumno y al tiempo necesario para la impartición, buscando que todo aprendizaje tenga continuidad y evite tanto las vías muertas (aprender cosas sin utilidad concreta ni aplicación posteriores) como el regreso cíclico a materia impartida tiempo atrás y parcialmente olvidada por el alumnado.
Diferentes alumnos avanzarían a diferente velocidad en diferentes materias, de modo que con horarios y metodologías flexibles se podría apoyar las áreas en que hubiese más dificultades. Pero aun en los casos en que tal flexibilidad no fuese suficiente para mantener a grupos grandes de alumnos coetáneos en niveles paralelos de avance en las diferentes áreas, el que algunos alumnos fuesen muy por delante o por detrás de los demás no rompería el grupo social que puedan formar, cuando su conservación se considere un hecho deseable.

Horario amplio e incorporación de actividades exteriores.
La enseñanza de las materias fundamentales, obligatorias por inexcusables (contadas como bloques, que serían 5 o 6, cf.), ha de tener prioridad en el horario de acuerdo a las necesidades psicológicas de aprendizaje.
A lo largo del día se repartirían las demás actividades, cuyo aprendizaje y práctica es más informal, y aquí se incluirían tanto las materias optativas, completamente accesorias, que se imparten dentro del entorno y estructura académicos, como las que se realizan en centros o instituciones exteriores. En ocasiones el tener a los niños y jóvenes en actividades extraescolares tiene una función de guardería, con lo cual el centro escolar ayudaría a la conciliación de la vida familiar y laboral de los padres; pero muchas de las extraescolares pueden ser un complemento a las actividades académicas, y evaluarlas en conjunto con el sistema educativo académico permitiría un mejor seguimiento del individuo para un óptimo desarrollo de su personalidad.
Así, el centro escolar se proyectaría como una auténtica comunidad de aprendizaje, núcleo de una ciudad que aprende, o colegio comunidad y multiservicio (Despertad al Diplodocus).

Flexibilidad de calendario.
Para optimizar el aprendizaje y a la vez concordar con el entorno socioeconómico, no sólo unos pocos días no lectivos deberían poder regularse a nivel local, sino también bloques mayores de vacaciones, para lo cual debería poder tener voz el consejo escolar.

Biblioteca guiada.
Sintiéndolo por los editores, las bibliotecas que acumulan libros en papel suponen un despilfarro de medios porque se están quedando atrás respecto a los usos digitales de la sociedad actual. Una biblioteca con menos libros y más ordenadores, y supervisada y apoyada con orientación al aprendizaje, tiene mucho que aportar en cuanto a la optimización y buen uso de los recursos que Internet ofrece en el marco del aprendizaje de todas las áreas, pero especialmente Lenguas y Ciencias. Al igual que desde siempre era el lugar en que acceder a muchos libros sin tener que pagar cada uno de ellos, hoy debería proporcionar el acceso grupal a bibliotecas y recursos virtuales en su entorno controlado.

Profesionales no docentes.
En la línea de las propuestas de enfermero escolar, el centro educativo se convertiría en un gran centro social y de crecimiento para niños y jóvenes, donde aprender en un ambiente de socialización y seguro, y abierto al resto de la sociedad y al servicio de su vida presente, no sólo futura, si se incorporase la prestación de servicios por parte de profesionales especializados no docentes o sólo parcialmente relacionados con la docencia: el mencionado enfermero, vigilantes (que se ocupasen de autobuses, instalaciones y guardias; quizá coordinados con la conserjería, y que pudiesen estar en parte reservados a veteranos de profesiones con requisitos físicos que por motivos de edad o en general condición física ya no pueden desempeñar: militares, bomberos...), bibliotecarios, subinspectores con tareas administrativas (cuerpo que podría crearse a partir de los actuales administrativos de los centros y que podría asumir parte o todas las funciones de los secretarios), psicólogos y asistentes sociales (que podrían formar parte del equipo de orientación), etc.
Lo cual, por si se levantan suspicacias contra un posible despilfarro en personal, no supondría un exceso de nuevos puestos, sino el traslado de servicios que ya se prestan a la infancia y la juventud (y al profesorado) al lugar donde pasan muchas horas al día y donde pasarían más dentro del esquema que estoy describiendo en esta entrada. Estos profesionales cubrirían además parte de las horas no docentes de los profesores, permitiendo una concentración de éstos en la tarea en la que son especialistas. Por añadido, el director del centro adquiriría una nueva dimensión, como líder de una institución aumentada respecto a lo que ahora es:
...escuelas como núcleos comunitarios [...] convertir a los centros escolares en núcleos proveedores de servicios a la comunidad, desde prestaciones sanitarias hasta servicios sociales. (El bosque pedagógico, p. 113).
Lo cual redunda en la idea de que los directores deberían tener una carrera diferenciada dentro de la profesión docente (Libro blanco de la profesión docente).

23/08/2017

Catan, dados y matemáticas

He hablado ya antes de variantes de Catan, pero no me planteé en aquel momento una posibilidad que ahora trataré, que desde luego da para una entrada de blog entera: cambiar los dados.

Por centrar el asunto tanto para los que estén familiarizados con Catan como para los que no, hemos de recordar que Catan usa los dados de manera muy sencilla: utiliza el resultado que se obtiene de sumar los valores de dos dados tirados simultáneamente. Pone en funcionamiento diferentes celdas del tablero dependiendo del valor obtenido. Por tanto, si en Catan vamos a cambiar los dados, debemos ceñirnos a lo que el juego necesita: resultados entre 2 y 12, con probabilidades en principio diferentes.

Pues bien, voy a plantear combinaciones de dados diferentes a la más sencilla de dos dados cúbicos. Es la más sencilla porque el cubo 1 a 6 es el dado más habitual, y la combinación de resultados es sumarlos, a su vez la operación aritmética más básica.

Y como soy profesor de Matemáticas voy a referir el estudio de cómo funcionarían las diferentes alternativas de dados a los diferentes niveles (de España). Empezamos por lo más elemental, que como hemos dicho es:

6x6: dos dados de 6 caras cada uno, numeradas de 1 a 6.
Aviso para los alumnos más jóvenes: si no lo pensamos mucho, podríamos decirnos: de la misma manera que un dado va de 1 a 6, dos dados irán de 1 a 12. Pero ¡ojo!, para empezar nunca podremos obtener un 1, ya que lo mínimo que podremos obtener en cada dado es ese valor y, al sumar ambos, el mínimo será un 2. Por tanto, nuestros resultados irán de 2 a 12.
Ahora bien, podríamos también generalizar nuestras ideas referidas a un solo dado y decir: la probabilidad de obtener cualquiera de esos valores de 2 a 12 es la misma. Pero no es así, y de hecho el juego Catan aprovecha esta circunstancia para que los valores más probables tengan más efecto en el juego.
Para ver por qué no todos los valores son igualmente probables, construiremos una útil herramienta llamada "tabla de doble entrada".
Empecemos con una tabla sencilla donde se reflejen los seis valores posibles de un dado cúbico:



Ahora a los alumnos ya no tan jóvenes: consideramos que el dado no está trucado si la probabilidad de obtener cada uno de los valores es la misma, que según Laplace se calcula: uno de los números concretos / total de números, es decir 1/6. Podemos comprobar que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1, o dicho de otra manera, que la probabilidad de que salga un número entre 1 y 6 es del 100 %, como es de esperar de acuerdo a la definición matemática de probabilidad.
Pues bien, ahora combinamos dos dados idénticos, poniendo los valores de uno en una fila y los del otro en una columna, y la suma de cada par en la celda de la misma fila que uno y columna que el otro:



Si hemos sumado con cuidado, obtendremos que los valores posibles son once en total, de 2 a 12. Para determinar la probabilidad de cada uno, podemos fijarnos en que como los valores de cada dado son equiprobables, los de cada celda resultado de los dos dados también lo es, de modo que sólo tenemos que contar cuántas veces aparece cada resultado, siendo, de nuevo según Laplace:



Aquí ya hemos puesto las fracciones en forma de porcentajes, para poder comparar después con lo que obtengamos para otros dados. Este caso es sencillo porque es simétrico: si nos fijamos en las probabilidades empezando por la izquierda son las mismas que por la derecha, pero los porcentajes también nos ayudarán a mantener la referencia cuando no haya tanta simetría.
Nota para los alumnos de 3º y 4º ESO, que tienen que tocar algo de lenguaje algebraico y que saber completar tablas de frecuencias: xi quiere decir cada uno de los valores, mientras que P(xi), su probabilidad, juega el papel de las frecuencias de Estadística.

Vamos por fin a complicar la cosa un punto, usando ya dados diferentes. Si les pedimos que cubran el mismo rango de valores, de 2 a 12, tienen que ser sólo dos dados, ya que si están numerados de 1 en adelante, combinar más de dos dados hará que como mínimo sumen 3: nunca obtendríamos el 2.
Por otro lado, si hemos de atender a los dados no cúbicos más a nuestra disposición, comprobamos que los juegos de dados de rol consisten en los cinco sólidos platónicos, cuyos números de caras son 4, 6, 8, 12 y 20, más dados de 10 caras consistentes en dos pirámides pentagonales unidas por las bases. 6 ya lo conocemos, y 20 son demasiados, pero 8x4 es la otra combinación (aparte de la 6x6) de sólo dos de esos dados que suman 12.

8x4: un octaedro (numerado de 1 a 8) y un tetraedro (de 1 a 4).
La tabla de doble entrada correspondiente es:


La de frecuencias se puede obtener de nuevo contando, teniendo en cuenta que cada celda es una de 32, y hay un 2, dos 3's, tres 4's, cuatro 5's, etc.:


Que también es simétrica y por supuesto suma 100%, pero nivela el temido 7 de Catan con los cuatro valores más próximos.

Las opciones con dos dados ya las hemos cubierto. Pero podemos pensar en otras combinaciones de dados aprovechables para Catan con estos dados habituales:

4x4x4: tres tetraedros.
Para los alumnos de 3º y 4º: la tabla de doble entrada nos sirve para visualizar la combinación de dos experimentos elementales como es la tirada de un dado, pero con tres dados necesitaríamos una especie de cajón con ancho, fondo y alto, una dimensión para cada dado. ¿Cómo nos las podemos arreglar?
Una vía es dar un primer paso con la tabla para sólo dos dados:


Y a continuación tomamos los resultados, los ponemos en la fila de una de las entradas de otra tabla, y en la otra entrada el dado tetraédrico que nos falta:


Ahora bien, hemos de ser cuidadosos y precisos con el cálculo de las probabilidades. Hasta ahora nos habíamos encontrado con entradas equiprobables, pero la fila que obtenemos con los resultados de la tabla 4x4 no es así, ya que 2 y 8 tienen una probabilidad de 1/16 = 6,25 %, 3 y 7 2/16 = 12,50 %, etc.
Por tanto la probabilidad de cada celda de nuestra tabla 4x4x4 ha de obtenerse según el método general para las tablas de doble entrada, que es poniendo en cada celda de las dos entradas la correspondiente probabilidad, y en la celda resultado el producto de la fila y columna correspondiente.
Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que con tres dados tetraédricos obtengamos un 3 tenemos que multiplicar la de obtener un 2 con 4x4 (1/16) por la de un 1 con el tercer dado (1/4), resultando 1/64 = 1,56 %.
Pero para obtener un 4 hemos de tener en cuenta que en un caso viene por un lado de obtener 3 con dos dados + 1 con el otro, y por el otro de obtener 2 con dos dados y 2 con otro. Es decir, las diferentes celdas donde resulta cada valor tienen en general probabilidades diferentes, y hay que calcularlas por separado y luego sumarlas.
Dejo como ejercicio obtener la tabla de probabilidades para 4x4x4:


Donde incluyo el 2 para evidenciar que nunca va a salir con tres dados numerados a partir de 1. Qué hacer con el 2 es algo que queda a nuestros criterios como jugadores de Catan (¡sí, estábamos haciendo todos estos cálculos sólo por dar alguna vuelta más al juego!). Personalmente yo, para no dejar la celda del 2 tan estéril como el desierto, optaría por ejemplo por considerar que 2 se activa cuando sale un 12, con lo que tendría la misma probabilidad que éste, por escasa que fuera, pero no nula al menos. En otras palabras, la celda del 2 pasaría a ser de 12.

Hasta aquí las combinaciones de dados que me parecen practicables durante el juego: 6x6, 8x4 y 4x4x4. Pero como ya hemos roto el principio de combinar para obtener resultados sólo de 2 a 12, porque con el 4x4x4 obtenemos de 3 a 12, podemos seguir en esa línea y usar no una combinación sino:

12: un solo dado dodecaédrico.
Sus doce caras nos darán valores de 1 a 12, equiprobables, con lo cual la distribución de probabilidades es elemental y sólo nos obliga preguntarnos qué hacer con el 1 en la partida de Catan. Una opción sería desestimarlo directamente y cada vez que saliera volver a tirar. Otra, darle un uso específico dentro de alguna variante del juego, como por ejemplo un uso alternativo del ladrón: devolverlo al desierto, usarlo para obtener recursos de la celda donde se coloque... Otra posibilidad que no requiere demasiadas variantes es considerar que el 1 tiene el mismo resultado que el temido 7 que activa el ladrón; en definitiva, todos los valores de 2 a 12 tendrían la misma probabilidad, salvo el 7, que tendría el doble. Por plasmarlo en la habitual tabla de probabilidades:


Casualmente, resulta que la probabilidad del 7 usando el dodecaedro de esta manera es la misma que tenía con la combinación de dados 6x6. Con lo cual la diferencia a la hora de jugar sólo está en que la probabilidad de que se active cualquier celda de recursos es la misma, teniéndose que escoger los lugares donde construir poblado exclusivamente por su variedad de recursos o disponibilidad de puerto.

Pero vayamos un paso más allá en nuestras variaciones con dados.
En nuestra intención de sumar 12, no vamos a dejar de recordar que éste es un número con muchos divisores: 2, 3, 4 y 6. Dados de 6 y 4 caras ya los hemos visto, pero nos podemos preguntar si no existirían dados de 2 y 3 caras. Pues los hay.
Para empezar, si nos acordamos de los sólidos platónicos, o de los poliedros en general, ni con dos ni con tres caras podemos construir un poliedro, pero no quiere decir que no podamos concebir un objeto tal que al arrojarlo contra uns superficie nos muestre al pararse una de 2 o una de 3 caras con una aceptable aleatoriedad.
Aparte de opciones ingeniosas (como esta o esta), podríamos simplemente darnos cuenta de que 2 y 3 son los divisores de 6, y como el hexaedro o cubo es el dado más abundante, podríamos incluso tallar sin ser expertos ebanistas sendos dados cúbicos, grabando en uno los valores 1, 2, 3 por duplicado, cada uno en dos caras opuestas, y el otro dado 1, 2 por triplicado.
Pero hay opciones más sencillas que esa. Para empezar, un prisma triangular con las bases suficientemente pequeñas, o redondeadas, caerá siempre sobre una cara lateral; el inconveniente es que no mostraría hacia arriba una cara sino una arista, problema que habría que solventar por ejemplo colocando el valor resultante en la arista y no en la cara (de modo parecido a como se hace con el dado tetraédrico, en que el valor resultante está en el vértice).
En cuanto a un dado de 2 caras, lo usamos de hecho habitualmente para resolver los sorteos más sencillos: es ni más ni menos que una moneda. Si asignamos a una de sus caras el valor 1 y a la otra el 2, ya tenemos nuestro dado.
Y si queremos hacer combinaciones con esos dados, las más sencillas serían 3x3x3x3 y 2x2x2x2x2x2. Vamos complicando la cosa, ya más que nada por el ejercicio matemático, porque francamente, tener que calcular un resultado sumando los valores obtenidos en cuatro o seis dados empieza a ser un poco impracticable.

3x3x3x3: cuatro dados de 1 a 3.
Para calcular las probabilidades, aún nos podemos aferrar a nuestra tabla de doble entrada de manera parecida a como hemos hecho con el 4x4x4. Primero calculamos con una tabla 3x3, con entradas equiprobables:



Aquí las probabilidades son muy sencillas: 2 y 6 tienen 1/9 = 11,11 %; 3 y 5, 2/9 = 22,22 %, y 4, 3/9 = 1/3 = 33,33 %.
A continuación ponemos los resultados de esta tabla como ambas entradas de otra:



Queda como ejercicio obtener las probabilidades:



2x2x2x2x2x2: seis monedas con valores 1 y 2.
Hasta ahora nos arreglábamos con tablas de doble entrada, pero ya con seis monedas, las combinaciones empiezan a ser inmanejables con esa herramienta.
Podemos sin embargo volver al viejo sistema de contar posibilidades equiprobables. Me explico: para obtener cada uno de los posibles valores de esta combinación, necesitamos que salga un número determinado de 1's y 2's: para el mínimo de 6, todo 1's; para un 7, sólo un 2, etc. De modo que basta con contar todas las permutaciones con repetición que se obtienen con seis 1's o 2's. Podemos intentar hacerlo a lo bruto, escribiéndolas una a una, y así obtendremos 64 opciones diferentes, con sólo una para que resulte un 6 o un 12, seis para un 7 o un 11, etc.
Pero para los alumnos de Bachillerato, ya acostumbrados al lenguaje algebraico: la manera más rápida de contar esta clase de permutaciones tiene su propia fórmula:



Aquí, a sería el número de 1's y b el de 2's, por ejemplo, y siempre n = a + b = 6, el número de dados. Tendríamos que calcular, como hemos dicho arriba, para a = 6 y b = 0, a = 5 y b = 1... hasta a = 0 y b = 6.
En cualquier caso, llegamos a esta tabla de probabilidades:



Por supuesto que con seis dados nunca obtenemos menos de un 6, y el máximo es 12 porque era nuestro criterio inicial. Después de tantas vueltas con dados, nos queda claro que cuantos más dados con valor mínimo 1, más alto es el valor mínimo, y esto no es lo que buscábamos para el juego, a pesar de que con la combinación de 4x4x4 dados pudimos sortear el problema.
¿Cómo escogemos monedas de modo que, primero, lleguen a 12, y segundo, empiecen desde 2, que es lo que necesitamos para Catan?
Aun manteniéndonos en las monedas, podemos primero pensar en romper el principio de que los dados estén numerados desde 1. Si convertimos cada punto hasta 12 en una moneda que puede decir "se suma - no se suma" tendríamos doce monedas numeradas 0 - 1. Pero de esta manera el valor mínimo es 0 y no 2, así que necesitamos elevar el mínimo a la vez que mantenemos el máximo, lo que se consigue aumentando en +1 los valores de dos de los dados, para desplazar todos los posibles valores que obtendríamos tirando esas monedas en +2. Hecho esto, de todas formas, necesitamos reducir el máximo en otros dos puntos, para lo cual eliminamos dos de las monedas con valores 0 - 1. De ese modo nos quedamos con:

2x2x1x1x1x1x1x1x1x1: dos monedas con valores 1 y 2 y ocho con 0 y 1.
Para calcular las probabilidades de éstas podemos usar las varias herramientas usadas hasta ahora:
- tabla de doble entrada para el 2x2:



- permutaciones con repetición para todas las combinaciones de diez 1's y 0's, calculadas una a una entre a = 0 y b = 10 y a = 10 y b = 1 (queda como ejercicio);
- combinación en otra tabla de doble entrada con valores de entrada no equiprobables:



Resultando de esta última la tabla de probabilidades:



Para los alumnos de 2º Bachillerato: ésta y la de 2x2x2x2x2x2 son distribuciones binomiales, que se apreciarán mejor más abajo.

Hasta aquí combinaciones de dados. Insisto en que usar más de tres dados me parece impracticable en el juego, por el incordio que supondría contar tantos valores y sumarlos. Sólo voy a dar unos pasos más que servirán de recapitulación general de las diferentes combinaciones vistas.

Gráficas.
Si reflexionamos un poco, tenemos una colección de tablas de probabilidades referidas a la misma serie de números, los naturales de 2 a 12. Pues algo que todos los alumnos de la ESO y Bachillerato sabrán hacer es representar las probabilidades en el eje de ordenadas (vertical) y los valores en el de abscisas (horizontal), con lo cual tenemos:



Realizada con Excel, al alcance de cualquiera y que recomiendo encarecidamente como contenido transversal entre Tecnología y Matemáticas en la ESO. En el caso del dodecaedro (12) he aplicado la mencionada regla para Catan de que el 1 es también un 7. No he representado las probabilidades nulas para evidenciar los valores mínimos y otras características: simetría, media y concentración, que los alumnos de 3º ESO en adelante (y por tanto todo adulto medianamente competente) han de comprender.
Como habíamos dicho arriba, comprobamos la silueta de la distribución binomial en la 2x2x2x2x2x2, sobre todo si la comparamos con las otras simétricas respecto al 7. También comprobamos que las distribuciones se acercan a la binomial cuantos más dados, y de menores valores, usamos.
La simetría se aprecia fácilmente: la gráfica de cada combinación de dados (color) tendría la misma forma si damos la vuelta al eje en torno a su referencia de simetría, que para el caso es otro eje vertical situado en la media aritmética, que es la medida de centralidad más utilizada. Si recordamos el paralelismo entre probabilidad y frecuencia, la media la calculamos multiplicando cada valor por su probabilidad, y de manera muy esperable, obtenemos:



Vemos más claramente que nunca que cuantos más dados numerados a partir de 1, más desplazada a valores altos está la distribución de valores obtenibles, lo cual es un argumento añadido a que con más de tres dados la jugabilidad se compromete.
Hemos de notar que si en el caso de 12 caras dejamos la probabilidad del 1 en su lugar original el lugar de asignársela al 7, la media del dado dodecaédrico baja a 6,5, justo el punto medio entre el mínimo y el máximo, como ocurre en una distribución simétrica.

La última característica en que nos fijaremos es la concentración de los valores. Observándo las gráficas, queda claro que unas combinaciones de dados favorecen más a los valores centrales (como ocurría en la 6x6 original) y otras nivelan más (caso máximo el de 12).
¿Podemos inventarnos una manera cuantitativa, un parámetro, que nos indique, de manera más fiable que un vistazo a las gráficas, la concentración? La Estadística tiene un arsenal de estas medidas de dispersión; en nuestro caso podemos por ejemplo construir la más sencilla: la desviación media. Para alumnos de 3º ESO en adelante: es fácil de razonar. Si queremos ver cuánto se desvía cada valor de la media para luego sumarlos, obtendremos un 0 bien redondo, ya que unos valores se desvían por defecto y otros por exceso y acaban por cancelarse. Lo que tenemos que hacer es tomar el valor absoluto ("sin signo") de la diferencia de cada uno, y finalmente hacer la media por si queremos comparar con series de valores diferentes de los once que nos ocupan. Los programas de hoja de cálculo disponen de esta función ya construida, pero es más entretenido programarla "a mano" con las operaciones aritméticas básicas y los valores absolutos (que dejo de nuevo como ejercicio de hoja de cálculo). De esa manera obtenemos:



Cuanto menor es Dm, más se concentran las probabilidades en torno al valor medio, y más desigual será la explotación de recursos en Catan. Así, las cuatro combinaciones de dados que me parecen practicables se ordenan de más desigual a menos: 4x4x4, 6x6, 8x4 y 12 (considerada en este caso la acumulación del 1 al 7).

10/02/2016

Dos revoluciones pendientes en la enseñanza

Llevo bastantes años presenciando que las exigencias planteadas a los adolescentes en los estudios siguen mayoritariamente encajadas en el corsé clásico enciclopedista, y las alternativas que surgen aquí y allá, que las hay y buenas, son vistas como rarezas o utopías. Hay una necesidad cada vez más evidente de que el sistema de enseñanza aborde de una vez por todas dos cambios profundos, tanto que no me parece exagerado considerarlos revoluciones, que a medida que se han sucedido las décadas y leyes se han ido acumulando y han crecido en urgencia.

La PRIMERA revolución surge de la necesidad de que lo que se enseñe se ajuste a lo que el alumno objetivamente necesita.

En otros tiempos, cuando la enseñanza servía a la larga al objetivo de mantener unas élites, el sistema trabajaba para trasladar datos a las mentes de los alumnos. Sin ser historiador de la enseñanza, puedo decir que esto es típico de la Edad Moderna, en que las jerarquías feudales eran cada vez menos los andamios de la sociedad, los reyes incluían en sus séquitos a gente por sus méritos y habitualmente era necesario que una persona tuviese mucha información en la cabeza para tenerla disponible.

Con la implantación del estado liberal y la universalización de la enseñanza, la responsabilidad del mantenimiento de la élite se diferencia de los mínimos de conocimiento necesarios para todos. Este último es el sentido de la enseñanza obligatoria, y de su gratuidad allí donde se garantiza: asegurar que todos los ciudadanos adultos han recibido el mínimo de conocimientos necesarios para ejercer sus plenos derechos.

Ni que decir hay que este último principio, que implica ajustarse a lo que el alumno objetivamente necesita, no se respeta. Para empezar, por ejemplo, la Constitución Española misma proclama (art. 27.2) que:
La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana en el respeto a los principios democráticos de convivencia y a los derechos y libertades fundamentales.
Podríamos pensar si ahí no se está olvidando de algún objetivo más, de importancia no menor, como serían aumentar la igualdad de oportunidades de los ciudadanos atendiendo al mérito, la incorporación competente al mercado laboral, o combatir la irracionalidad y el sectarismo.

Pero la herencia enciclopedista es muy pesada, y esa declaración más “moderna” de la Constitución en el fondo tampoco la cuestiona. El enciclopedismo se perpetúa en parte porque lo más cómodo para un profesor es el modelo de clase magistral, en parte también porque las oposiciones de acceso al profesorado de Secundaria se fijan exclusivamente en el conocimiento que los candidatos tienen de la materia a impartir, despreciando las capacidades didácticas (como denuncié en un caso).

Ese enfoque pragmático y universal en la Secundaria obligatoria tiene otras diversas implicaciones. Por ejemplo, cuando hace unos años cursé el máster requerido para poder ser docente en la enseñanza secundaria, una de las cuestiones en que más se nos insistía era la de los “problemas auténticos”, es decir, el intentar desembarazarse de planteamientos hechos desde el punto de vista académico para buscar en su lugar lo pragmático y realista. Hecho que considero particularmente obligado en la Secundaria obligatoria.

En mi trabajo de fin máster (Desarrollo del pensamiento formal en la adolescencia e implicaciones en la docencia de la física en educación secundaria, 2011), demostré en detalle la incongruencia y descoordinación en el currículo de las materias del abanico Matemáticas-Física-Química-Tecnologías de aquel momento, que tenían toda la apariencia de haber sido diseñadas cada una pensando en sus aplicaciones futuras, para encarrilar a los alumnos por una vía académica hacia las correspondientes carreras universitarias. Las Tecnologías tienen una vocación nada escondida de atraer a alumnos a las Ingenierías, sin tener en consideración el criterio básico (que he defendido en la entrada sobre los "Pilares de la enseñanza secundaria") de que
los contenidos de la enseñanza obligatoria son los únicos que, por su propia definición, deben ser impartidos sin atender a las preferencias personales del alumno. Los únicos contenidos propedéuticos en esta etapa han de ser los que preparan para la “vida real”.
La evaluación del alumno tendría que replantearse también dentro de este marco, pues debe ser una herramienta de control en la que las notas sean sólo un aspecto, declarando primero la aptitud del alumno en la consecución de los objetivos del curso, y sólo en segundo plano estableciendo notas. Podría incluso cuestionarse la organización del alumnado en cursos, pero eso son ya camisas de once varas.

Organización del currículo, enfoque didáctico, evaluación, etc. son aspectos que se verían afectados por un criterio general pragmático, y por encima de todo lo sería la enseñanza memorística. Esto viene de la verdadera universalización de la enseñanza básica, a lo largo del s. XX. Las leyes educativas españolas podían tener la excusa de que la situación aún no había creado la necesidad de cambiar, y los que nacimos entre 1970 y 1990 aún vivimos bajo el modelo academicista de la Ley General de Educación de 1970. Pero bajo las leyes posteriores las cosas no han cambiado.

Pues bien, si el enciclopedismo, academicismo y memorística se vieron cuestionados por la evolución de la enseñanza y la sociedad y sus relaciones mutuas, de manera que la primera de las dos mencionadas revoluciones se convirtió en un tema pendiente hace unas décadas, hace menos de 20 años que ha surgido la necesidad de la SEGUNDA, y se ha debido a Internet. Es otra universalización: si la primera lo era de la enseñanza, ésta lo es de la información.

El cambio que estamos viviendo es tan reciente que aún cuesta definir cuán grande será a largo plazo; pero que será grande es incuestionable. Dudo que ninguna parte del sistema de enseñanza esté preparado. El currículo aún vive anclado en la necesidad de la primera revolución. El profesorado en general tampoco lo está, pues son unas generaciones aún criadas en el papel impreso y que son seleccionadas mediante una criba memorística en buena parte. Los planes de implantación y uso de las TIC dan risa, pues consisten en ver en una pantalla brillante lo que antes se veía en un encerado o un papel, pero no asumen un cambio de paradigma didáctico.

Pues las telecomunicaciones e Internet son todo un mundo nuevo. La disponibilidad de información masiva y de variada calidad, con sobreabundancia de la de mala calidad, reduce la necesidad de memorizar datos a unos campos muy limitados y la sustituye por la capacidad de manejar muchos datos. La habilidad para distinguir la información de buena calidad (fidedigna, contrastada, especializada, técnica, etc.) es necesaria para afrontar el chapuzón de Internet que voluntariosamente dan los padres actuales a sus hijos sin preocuparse demasiado de a qué los exponen.

El currículo necesita adaptarse a esto, y por ello es un área del sistema de enseñanza afectada radicalmente por las dos revoluciones pendientes. Al respecto, sobre las relaciones que creo necesarias entre áreas del currículo me he extendido en la mencionada anterior entrada del blog. Sólo apunto que cuanto más se alejan los contenidos y métodos de enseñanza de un enfoque pragmático, más contestación tiene por parte del alumno, y por tanto se vuelve menos efectivo.

Además, TIC significa digitalización de la docencia en general, y éste es otro gran campo en el que avanzar. No es sólo sustituir papel y lápiz por pantalla y blog, sino incluir elementos que son un paso más allá y los superan radicalmente, como gráficos dinámicos, simulaciones, etc. y otros en que el alumno pueda participar activamente. Quizá esto es en lo que más se ha avanzado en el entorno que yo he visto, y aun así no lo suficiente.

Y otra reflexión más sobre las TIC, que por estar última no deja de ser en realidad un punto de partida para los planes de TIC de los centros: si un alumno no tiene acceso a Internet, en ámbito doméstico o público, desde la comunidad educativa se debería considerar, suplir y resolver con la importancia y gravedad que se daría, por ejemplo, a que sus padres no se preocupasen por su alfabetización o crianza. Para una verdadera implantación de medios y cultura digitales, de información y comunicaciones, hay que considerar el acceso a Internet un derecho básico de los alumnos.