Cortar una tortilla (matemáticamente hablando)

Voy a dejar de una vez por todas en abierto en el blog un problema de Matemáticas que compendia casi todas las que un alumno de 2º de ESO tiene que haber visto, salvo un poco de Estadística y Probabilidad.

Surgió y se me fue ocurriendo el curso pasado durante una clase de 1º ESO pero, dentro del currículo actual, el primer curso al que me parece razonable aplicarlo es el de 2º.

Puedo decir que ya dicho pasado curso ha proporcionado la hora de clase más vibrante y productiva que he vivido hasta ahora, precisamente en 2º ESO, y tengo intención de irlo puliendo curso tras curso con la intención de que se convierta en un proyecto de todo un curso, trabajado poco a poco por los alumnos, para el que puedan anticiparse, investigando, a la impartición de determinados contenidos (geometría cae típicamente entre el 2º y 3er trimestres), y que vayan resolviendo poco a poco con orientación del profesor.

Ahí va planteado:

Como todos sabemos, lo usual de las tortillas, como muchos otros manjares cocinados en sartén, es hacerlas de la forma de la dicha sartén, esto es, circular.

Ahora bien, si por un lado es habitual cortarla en sectores circulares (coloquialmente llamados quesitos, como los de Trivial Pursuit), también es cierto que cuando se quieren hacer muchas raciones (p.ej. para una fiesta) es más práctico tajarla haciendo cuerdas de circunferencia para sacarle cuadrados.

Lo malo es que en ese caso necesariamente nos sobran los bordes redondos, dejándonos con la duda de si colocarlos también para los invitados, comérnoslos e inflarnos a base de bordes, etc. Un dilema.

Por tanto vamos a darle vueltas al asunto y vamos a ver cómo podemos cortar la tortilla bajo las siguientes condiciones:

1. Partimos de una tortilla circular, y queremos cortarla en porciones todas de la misma fracción, 1/10, del área total.
2. Primero, tenemos que sacarle el máximo posible de porciones cuadradas.
3. Pero es indispensable que con los bordes que nos sobren podamos estar seguros de cortar y componer porciones también de 1/10 del área, aunque no sean cuadradas.

Tenéis todo el curso para resolverlo. No lo haréis solos, porque el profesor estará para escucharos y daros pistas, además de para poneros nota al final. Pero no os lo hará él; tenéis que buscar vosotros mismos información sobre cómo hacerlo. Cada vez que alguno de los grupos crea que ha hecho un descubrimiento, debe indicarlo al profesor para que dediquemos una clase a debatirlo entre todos. Los grupos que sean capaces de exponerlo y responder competentemente a las preguntas de los compañeros y del profesor, se ahorrarán el primer examen de la 3ª evaluación, correspondiente al tema de Geometría.

Por cierto que los Departamentos de Lengua Castellana, Lengua Gallega, Francés e Inglés están encantados de que anotéis todas las dudas referidas al idioma en que hagáis el trabajo para resolverlas con ellos y que también os den puntos en sus asignaturas. Asimismo los Departamentos de Geografía e Historia y de Biología y Geología ofrecen suculenta recompensa por que tratéis aspectos correspondientes a dichas materias (historia de la tortilla, historia de la patata, composición de la patata, etc.).

En cuanto a Matemáticas, por ahora, sólo unas primeras pistas, en forma de listado de puntos que deberíais encontrar en el camino de la resolución:

• cuadratura del círculo,
• fórmula del área del círculo,
• teorema de Pitágoras,
• filas y columnas,
• expresiones algebraicas,
• redondeo y soluciones aproximadas.

Y ya son muchas pistas.

Para finalizar, un par de curiosidades simpáticas sobre la tortilla: una histórico-culinaria, la otra un auténtico malabarismo.