Tema de funciones y rectas, Matemáticas 2º ESO

A continuación tenéis una colección de materiales con los que casi podríais desde casa e incluso sin siquiera ayuda del profesor aprender el tema de Rectas tal como lo quiero enfocarlo.

Están por tanto ordenados en la manera en que deberíais verlos vosotros solos, si bien obviamente podéis utilizar los que os convenga en diferentes momentos para preparar o ampliar lo visto en clase:

Vídeos:

Empezamos por unas clases en las que no podéis preguntar o, como mucho, si preguntáis y tenéis suerte de que os respondan, es al cabo de un tiempo (eso lo repito para que os deis cuenta de que en clase es donde tenemos que aprovechar para preguntar dudas al profesor).

Cómo plasmar rectas y otras funciones (Khan Academy): aquí tenéis el primer paso de cómo plasmar una función en una gráfica de ejes coordenados. Hasta esto habíamos llegado el curso pasado.

[Khan Academy tiene vídeos de lecciones completas ¡traducidos al español!]

Cómo hallar la ecuación de la recta (Susi Profe): de este modo hacemos el mismo camino que antes pero en sentido contrario a lo de arriba. El concepto es más difícil, por eso es el primer año que lo vemos.

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones (Susi Profe): esto es el remate del tema, que consiste en aplicar lo que sabemos de rectas, nuevo y antiguo, a lo que hemos aprendido en el tema anterior sobre sistemas de ecuaciones.

[Susi Profe comprobaréis que suele explicar parecido a como lo hago yo en clase, por lo que os animo a que exploréis otros vídeos relacionados con lo que vemos aquí. Ojo que tiene muchos niveles diferentes, que no tienen por qué corresponder con vuestro curso.]

Boletín:

El boletín que os he entregado es la recopilación con que exploraremos toda la variedad de aplicaciones con que nos tenemos que quedar, que iremos proponiendo como deberes de día en día y que resolveremos en el aula.

Herramientas interactivas:

Interactivo PhET de rectas: en mis tiempos teníamos que hacer un montón de ejercicios para darnos cuenta de cómo afectaban los parámetros de la fórmula a la gráfica, y viceversa. Con este interactivo movéis un poco los mandos y veis tanto en un minuto como yo en mi día en una hora.

[PhET tiene un montón de interactivos que se aplican a la mayoría de temas de la mayoría de cursos, y no sólo Mateas, sino también las ciencias naturales. ¡Comentádselo a vuestros profes!] 

Representadores de funciones:

MathsIsFun dispone de muchas herramientas, y ésta es especialmente útil para este tema. Escribiendo la fórmula en la forma y = f (x) os la representa al momento. Un punto interesante es que podéis representar hasta cinco funciones a la vez.

GeoGebra: de los más famosos

Ejercicios para hacer gimnasia matemática:

Una vez estéis fogueados en los conceptos con lo anterior, deberéis ir haciendo más que lo visto en clase practicando con los siguientes boletines, seleccionados por parecerme particularmente apropiados para cómo llevaremos el tema:

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/05094.pdf

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/01418.pdf

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/05099.pdf

En estos tres anteriores tenéis sólo gráficas y rectas.

http://yoquieroaprobar.es/_pdf/32281.pdf: en esta última se practica la resolución de sistemas de ecuaciones con algunas gráficas, por lo que es especialmente apropiado para repasar el tema anterior.

[En YoQuieroAprobar tenéis un montón de fichas con ejercicios y problemas, tanto sin solución como con ella y con la resolución entera, así como fichas de teoría, algún interactivo y pruebas para que os autoexaminéis.]

Propuesta de trabajo: gráfica en hoja de cálculo.

Consiste en ser capaz de elaborar con hoja de cálculo (LibreOffice Calc, Office Excel, etc.) una tabla de valores escribiendo en una columna los valores y en otro la fórmula de la función, y a partir de ella elaborar una gráfica en la misma hoja.

[Las hojas de cálculo no son la herramienta idónea ni más ágil para representar funciones, pero hoy por hoy tienen gran utilidad cotidiana en la vida privada tanto como en un negocio.]

Juego: pista de carreras.

Material avanzado:

Ficha de situaciones de movimiento: en esta selección figura una explicación que, si comprendéis bien este tema, os adelantará algo de la asignatura de Física. Recordad que la realidad no está dividida en asignaturas.

Interactivo PhET de parábolas: esta clase de ecuaciones la estudiaremos a final de curso, y la gráfica en el curso que viene, pero podéis entreteneros con los mandos para quedaros con el concepto.

Juego matemático de la pista de carreras

Con este juego os pondréis a pensar en el ámbito de la Cinemática. Siento deciros que no podéis jugarlo en la brillante pantalla de vuestro móvil, porque la rayaríais. Bastan una hoja cuadriculada y un bolígrafo de un color diferente por cada jugador.

Cada jugador dibujará, en los vértices de la cuadrícula, una sucesión de puntos que representan  las posiciones de su vehículo.

La pista requiere de salida, recorrido y meta, como podríamos suponer. La salida es un segmento horizontal con anchura suficiente para que cada jugador esté en un vértice diferente justo antes de ella. La meta es otro segmento, que puede estar inclinado, con aproximadamente el mismo tamaño. El recorrido ha de ser lo más sinuoso y amplio posible, y conviene que vaya variando un tanto en anchura, sin angosturas ni explanadas exageradas; se traza delimitando sus bordes entre salida y meta.

A partir del punto inicial, los jugadores "mueven" (dibujan) por turnos (se ha de decidir por algún método quién comienza). Las reglas de movimiento son las siguientes:

1. El segmento que una el vértice inicial con el de destino en ese turno debe estar contenido dentro de la pista. El coche que intente pasar por encima del borde de la pista colisiona contra los muros y queda eliminado.
2. Dos coches no pueden ocupar el mismo punto en el mismo turno (una manera de comprobarlo es que dos trayectorias no pueden acabar en el mismo punto en ningún turno). Los coches que coincidan colisionan y quedan ambos eliminados.
3. La posición de cada jugador viene determinada por la velocidad, pero a su vez ésta por la aceleración: aquí es donde entramos de lleno en la Cinemática:
1. De un turno al siguiente, el cambio de la posición es la velocidad. Inicialmente los coches están en la salida, y se irán desplazando de acuerdo al tamaño y dirección de su velocidad para realizar el recorrido en el mínimo número de turnos.
2. De un turno al siguiente, la velocidad puede cambiar en una cantidad que llamamos aceleración. Inicialmente los coches están inmóviles en la salida, por lo que necesitarán ir cambiando su velocidad en diferentes direcciones. Y decimos bien, cambiando y no sólo aumentando, porque si adquieren demasiada velocidad podría ocurrir que no pudiesen tomar una curva a tiempo y colisionasen contra el muro.
3. La aceleración, es decir, el cambio de la velocidad, puede ser -1, 0 o 1 en cada una de las dos direcciones (horizontal y vertical).

Pues bien, a generar pistas ¡y a la carrera! (Una recomendación: intentad imaginar una manera de visualizar y representar tanto la velocidad como la aceleración, ya que la posición es en lo que consisten los propios puntos.)

[Extraído de Gardner, Martin (2010), Rosquillas anudadas. Barcelona, RBA, p. 119.]

Atando cabos sobre los orígenes etruscos

En el último año y medio, aproximadamente, he dado con una serie de hilos de la Historia, a los que me he acercado atraído por el interés por temas diversos, que han convergido en ponerse de acuerdo acerca de un mismo asunto que por lo demás es todavía objeto de cierto debate entre historiadores, lingüistas y demás exploradores de la Antigüedad, lo que a saber podríamos dar en denominar los orígenes etruscos.

Tratando por separado los diversos hilos:

1. El marco de los orígenes etruscos lo proporciona el más general de las antigüedades y orígenes indoeuropeos. El estado de la cuestión me parecía relativamente asentado tras haber leído el fantástico compendio de F. Villar Los indoeuropeos y los orígenes de Europa, rubricado años más tarde por The Horse, the Wheel, and Language (David W. Anthony). Estando así las cosas, quise ponerme al día con las últimas obras de Villar, y acabé sorprendido por la evolución de las ideas del autor (muy razonada y razonable, todo sea dicho) y con un concepto mucho más profundo de la indoeuropeidad como es el que Villar et al. aportan en Lenguas, genes y culturas en la prehistoria de Europa y Asia suroccidental. Obra que, tirando del hilo, me llevó a otra, rompedora pero de conclusiones exageradas: M. Alinei, Origini delle lingue d'Europa (2 vols. voluminosos). Respecto a los etruscos, con lo que me quedo aquí es con la razonable conclusión de Villar respecto a que la indoeuropea (o "arqueo-indoeuropea", en términos de Villar, o para-indoeuropea) es la capa lingüística más antigua detectable en la mayor parte de Europa. Y en particular en Italia.
2. Interesádome desde tierna edad por esa lograda ficción lingüístico-histórica que Tolkien creó, la obra biográfica Tolkien y la Gran Guerra (J. Garth) me llevó a la persona de L.R. Farnell. Como yo había tratado en un artículo de juventud la inspiración que los Valar de Tolkien tienen en los dioses clásicos, basada en las diferentes hipótesis lanzadas por Robert Graves y Marija Gimbutas desde diferentes campos, recalé de natural modo en The Cults of the Greek States, donde inesperadamente encontré la hipótesis de que pueda ser "el relato de las andanzas de Eneas el recuerdo legendario de la difusión de este culto" (el de Afrodita Aineias diosa del mar; p.638).
3. Esto nos lleva a la vinculación de parte de los orígenes de Roma, los que Virgilio hizo remontar a Eneas en la Eneida, con la Tróade. Muy notable es el personaje de Tarcón, sobre cuyo nombre abundamos abajo, pero cuyo pariente Tirreno apunta a la relación de los etruscos con los tirsenos (v. punto siguiente). Con todo, el relato de las andanzas de Eneas y sus troyanos, que exhibe una descarada alegoría en cuanto al origen de la rivalidad púnico-romana, estaría alegorizando también respecto al primitivo vínculo entre Roma y los etruscos.
4. Heródoto (Historias I, 94) es una de las raíces de la hipótesis minorasiática de los orígenes etruscos, atribuyéndola a la migración liderara por el mencionado Tirreno por motivos de carestía.
5. No podemos dejar de indicar la fundamental identidad de los diferentes etnónimos de este pueblo: tyrsenoi, tyrrhenoi, tusci (< turs-ci, con el típico sufijo etnonímico itálico -co que encontramos en tantos otros ejemplos: herni-ci, vols-ci, os-ci / aurun-ci, falis-ci, marru-ci-ni, Labi-ci...) y de ése tanto etrus-ci como el posterior Tos-ca-na. Me atrevo, con todas las salvedades de mi relativa ignorancia al respecto, a lanzar la hipótesis de que brote del mismo tronco el endónimo rasenna (< trasen-, de donde podría igualmente > tyrsen- en griego). Y estirando la conjetura, a este rasenna podríamos vincular como posible derivado muy tardío el nombre raeti, parientes suyos según los antiguos.
6. Quiere cerrar el círculo de una explicación completa el luvitólogo F. Woudhuizen, fundando desde su especialidad la hipótesis de que la lengua etrusca sea un dialecto luvita evolucionado, con origen por tanto en las costas del Egeo y Anatolia, y en última instancia una variedad indoeuropea. Toca la identidad tirrénica con los teresh mencionados entre los pueblos del mar en The Ethnicity of the Sea Peoples, pero expone extensamente la teoría en Etruscan as a Colonial Luwian Language, donde es central la interpretación de la lengua etrusca en base al luvita; aquí plantea que los etruscos salieran de Asia Menor huyendo de los ataques cimerios en época tan tardía como el s. VIII a.C. Asimismo encontramos en The Luwians of Western Anatolia, Their neighbours and predecessors, del mismo Woudhuizen, en medio de las versiones de la Edad del Bronce de numerosos nombres de personajes conocidos a través de la antigua literatura clásica, a

Anquises, el padre de Eneas, quien representa una línea real troyana diferente de la de Príamo, presumiblemente con antecedentes luvitas, ya que parece estar vinculada con la región al sur del Monte Ida, caracterizada por los nombres típicamente luvitas..." (p. 130).

Todo lo cual compone un cuadro para mí verosímil sobre los orígenes etruscos que sería el siguiente:

• A finales de la Edad del Bronce, los tirsenos, uno de los pueblos comprendidos en los de lengua luvita, habita la Anatolia occidental. Algunos de sus contingentes (teresh) son uno de los pueblos del mar que asaltan Egipto.
• Iniciada la Edad siguiente, el Hierro, los tirsenos se mantienen en su zona en torno al Egeo, compartiendo muchos elementos culturales con las tribus de lengua griega que son sus vecinos desde siglos atrás.
• Los tirsenos comparten con los griegos y fenicios su expansión colonial hacia occidente, quizá animada por la temprana tendencia general (s. -X), quizá impulsada particularmente por la amenaza cimeria en el continente (s. -VIII - -VII). Mientras que los fenicios fundan mayormente en las costas meridionales del Mediterráneo y los griegos en las septentrionales, los tirsenos hallan un hueco en las costas occidentales de la Península Itálica, junto al mar al que darán nombre. Mediado el s. -VI, en la Batalla de Alalia se enfrentarán estas tres corrientes (que no podemos anacrónicamente denominar potencias) de colonizadores.
• Rasgos tirsénicos se mantienen hasta época tardía en la isla egea de Lemnos, como atestiguan varias inscripciones.
• Los tirsenos (llamados etrusci por los latinos) se instalan no sólo en la costa, sino que prosperan tierra adentro. No ha de entenderse esto como una expansión con sustitución completa de población, como antaño se daba por hecho, sino como un proceso de élite dominante como los que la Historia bien conoce desde el inicio la Edad del Bronce y quizá antes, y que explica las expansiones indoeuropeas de que tratan la Lingüística y la Arqueología en las varias hipótesis sobre los orígenes indoeuropeos, que han producido una y otra vez difusiones y sustituciones de elementos culturales de mayor o menor amplitud sin implicar sustituciones genéticas (sustituciones poblacionales más completas que también se pueden dar, pero que en Europa al parecer no se han producido desde el último deshielo). En concreto, los tirsenos-etruscos fomentan determinados elementos culturales de su tierra de origen (alfabeto, cultos, arte) sobre un sustrato villanoviano y umbro, con vínculos tanto autóctonos como centroeuropeos.
• Cualquiera que fuera la época inicial de llegada de los tirsenos, su presunta huida de los cimerios coincide con:
• el período orientalizante de la cultura de Etruria;
• su máxima influencia en la Península, que alcanza desde el valle del Po hasta Campania, con centro y mayor arraigo en Etruria;
• los primeros tiempos de la ciudad de Roma.
• Testigo de la influencia oriental etrusca en la primera Roma serían:
• la atribución de parte de los orígenes de Roma a inmigrantes de Asia Menor;
• la alianza troyano-etrusca en la Eneida, que se trataría en realidad de identidad étnica;
• el propio personaje de Eneas, que sería la personificación en la figura de un héroe troyano de un aspecto de Afrodita como protectora de los marineros, muy apropiado para los colonizadores del Mediterráneo;
• los reyes Tarquinios de Roma, cuyo nombre es una variante del mencionado Tarcón, y además refleja los luvitas "Tarḫunz" o "Tarkasnawa".
• Con el declinar del poder etrusco, tras el cénit de esa época, los etruscos que dominan el valle del Po son desplazados por invasores galos, y los que se trasladan al norte se transformarán en los retios, en un nuevo proceso de élite dominante en que el elemento capaz de dejar monumentos epigráficos es el mismo que lo había hecho en la Península.
• La mayor parte de los etruscos acabarán siendo absorbidos en el común de los romanos, quedando su lengua en desuso (y hasta hoy sin desciframiento seguro o de consenso, a pesar de Woudhuizen).

En suma, unos acontecimientos complejos y en la que, como en tantas otras ocasiones en la Historia, el relato sólo se construye a posteriori realzando algunos de los hilos y descartando otros, deliberadamente o no, y con una toma de conciencia étnica basada en ese deformado cuento.