Cortar una tortilla (matemáticamente hablando)

Voy a dejar de una vez por todas en abierto en el blog un problema de Matemáticas que compendia casi todas las que un alumno de 2º de ESO tiene que haber visto, salvo un poco de Estadística y Probabilidad.

Surgió y se me fue ocurriendo el curso pasado durante una clase de 1º ESO pero, dentro del currículo actual, el primer curso al que me parece razonable aplicarlo es el de 2º.

Puedo decir que ya dicho pasado curso ha proporcionado la hora de clase más vibrante y productiva que he vivido hasta ahora, precisamente en 2º ESO, y tengo intención de irlo puliendo curso tras curso con la intención de que se convierta en un proyecto de todo un curso, trabajado poco a poco por los alumnos, para el que puedan anticiparse, investigando, a la impartición de determinados contenidos (geometría cae típicamente entre el 2º y 3er trimestres), y que vayan resolviendo poco a poco con orientación del profesor.

Ahí va planteado:

Como todos sabemos, lo usual de las tortillas, como muchos otros manjares cocinados en sartén, es hacerlas de la forma de la dicha sartén, esto es, circular.

Ahora bien, si por un lado es habitual cortarla en sectores circulares (coloquialmente llamados quesitos, como los de Trivial Pursuit), también es cierto que cuando se quieren hacer muchas raciones (p.ej. para una fiesta) es más práctico tajarla haciendo cuerdas de circunferencia para sacarle cuadrados.

Lo malo es que en ese caso necesariamente nos sobran los bordes redondos, dejándonos con la duda de si colocarlos también para los invitados, comérnoslos e inflarnos a base de bordes, etc. Un dilema.

Por tanto vamos a darle vueltas al asunto y vamos a ver cómo podemos cortar la tortilla bajo las siguientes condiciones:

1. Partimos de una tortilla circular, y queremos cortarla en porciones todas de la misma fracción, 1/10, del área total.
2. Primero, tenemos que sacarle el máximo posible de porciones cuadradas.
3. Pero es indispensable que con los bordes que nos sobren podamos estar seguros de cortar y componer porciones también de 1/10 del área, aunque no sean cuadradas.

Tenéis todo el curso para resolverlo. No lo haréis solos, porque el profesor estará para escucharos y daros pistas, además de para poneros nota al final. Pero no os lo hará él; tenéis que buscar vosotros mismos información sobre cómo hacerlo. Cada vez que alguno de los grupos crea que ha hecho un descubrimiento, debe indicarlo al profesor para que dediquemos una clase a debatirlo entre todos. Los grupos que sean capaces de exponerlo y responder competentemente a las preguntas de los compañeros y del profesor, se ahorrarán el primer examen de la 3ª evaluación, correspondiente al tema de Geometría.

Por cierto que los Departamentos de Lengua Castellana, Lengua Gallega, Francés e Inglés están encantados de que anotéis todas las dudas referidas al idioma en que hagáis el trabajo para resolverlas con ellos y que también os den puntos en sus asignaturas. Asimismo los Departamentos de Geografía e Historia y de Biología y Geología ofrecen suculenta recompensa por que tratéis aspectos correspondientes a dichas materias (historia de la tortilla, historia de la patata, composición de la patata, etc.).

En cuanto a Matemáticas, por ahora, sólo unas primeras pistas, en forma de listado de puntos que deberíais encontrar en el camino de la resolución:

• cuadratura del círculo,
• fórmula del área del círculo,
• teorema de Pitágoras,
• filas y columnas,
• expresiones algebraicas,
• redondeo y soluciones aproximadas.

Y ya son muchas pistas.

Para finalizar, un par de curiosidades simpáticas sobre la tortilla: una histórico-culinaria, la otra un auténtico malabarismo.

Una nueva organización de centro escolar

Esta entrada continúa la serie de las dedicadas a los cambios necesarios en el sistema educativo. En particular, movido por la última sobre inclusión y didáctica, voy a plantear lo que para mí sería la organización ideal de un centro escolar, que siguiese en cualquier caso los principios que he defendido en todas las anteriores.

Adaptación psicológica.
Hoy en día la rigidez de los métodos didácticos y procedimientos de evaluación produce que la gran mayoría de alumnos sean tratados en conjunto, siendo las medidas de atención a la diversidad una excepción a esa regla general. En cambio, como ya he dicho, la atención a la diversidad debería ser practicada por defecto, con el objetivo supremo de la eficiencia en el aprendizaje, de acuerdo a los diferentes estilos de aprendizaje (El bosque pedagógico, p. 98).
Un cuerpo de psicólogos de la educación debería trabajar constantemente y en el aula apoyando a los profesores y para agrupar a los alumnos según tipos psicológicos, con los que formar grupos de alumnos, organizados por centro o por zona. De hecho, podrían constituir ellos el equipo de tutores (o la mayor parte del mismo) con el orientador como jefe, de modo que, en paralelo, los profesores de cada área pudiesen formarse y centrarse en las metodologías didácticas óptimas tanto para cada área como para cada tipo psicológico; si no todos los docentes formándose por defecto en todos los tipos, sí a modo de méritos del profesor que le habilitarían para impartir en los correspondientes grupos, de igual modo que hoy existen capacitaciones en idiomas, habilitaciones, etc.

Flexibilidad de grupos.

Por defecto los agrupamientos deberían hacerse por materias, también atendiendo a la diversidad de inteligencias en el alumnado, rompiendo con los grupos estancos: cada alumno debe tener una programación de horario personalizada (lo cual no quiere decir que haya una programación diferente por cada alumno, sino que para determinar su programación, cada alumno tendría múltiples opciones de un abanico limitado).

Ruptura de cursos.

En relación con lo anterior, la estructura de cursos debe dejar de centrar la organización del centro. El desarrollo del currículo debe ajustarse a las capacidades psicológicas del alumno y al tiempo necesario para la impartición, buscando que todo aprendizaje tenga continuidad y evite tanto las vías muertas (aprender cosas sin utilidad concreta ni aplicación posteriores) como el regreso cíclico a materia impartida tiempo atrás y parcialmente olvidada por el alumnado.
Diferentes alumnos avanzarían a diferente velocidad en diferentes materias, de modo que con horarios y metodologías flexibles se podría apoyar las áreas en que hubiese más dificultades. Pero aun en los casos en que tal flexibilidad no fuese suficiente para mantener a grupos grandes de alumnos coetáneos en niveles paralelos de avance en las diferentes áreas, el que algunos alumnos fuesen muy por delante o por detrás de los demás no rompería el grupo social que puedan formar, cuando su conservación se considere un hecho deseable.

Horario amplio e incorporación de actividades exteriores.

La enseñanza de las materias fundamentales, obligatorias por inexcusables (contadas como bloques, que serían 5 o 6, cf.), ha de tener prioridad en el horario de acuerdo a las necesidades psicológicas de aprendizaje.
A lo largo del día se repartirían las demás actividades, cuyo aprendizaje y práctica es más informal, y aquí se incluirían tanto las materias optativas, completamente accesorias, que se imparten dentro del entorno y estructura académicos, como las que se realizan en centros o instituciones exteriores. En ocasiones el tener a los niños y jóvenes en actividades extraescolares tiene una función de guardería, con lo cual el centro escolar ayudaría a la conciliación de la vida familiar y laboral de los padres; pero muchas de las extraescolares pueden ser un complemento a las actividades académicas, y evaluarlas en conjunto con el sistema educativo académico permitiría un mejor seguimiento del individuo para un óptimo desarrollo de su personalidad.
Así, el centro escolar se proyectaría como una auténtica comunidad de aprendizaje, núcleo de una ciudad que aprende, o colegio comunidad y multiservicio (Despertad al Diplodocus).

Flexibilidad de calendario.
Para optimizar el aprendizaje y a la vez concordar con el entorno socioeconómico, no sólo unos pocos días no lectivos deberían poder regularse a nivel local, sino también bloques mayores de vacaciones, para lo cual debería poder tener voz el consejo escolar.

Biblioteca guiada.
Sintiéndolo por los editores, las bibliotecas que acumulan libros en papel suponen un despilfarro de medios porque se están quedando atrás respecto a los usos digitales de la sociedad actual. Una biblioteca con menos libros y más ordenadores, y supervisada y apoyada con orientación al aprendizaje, tiene mucho que aportar en cuanto a la optimización y buen uso de los recursos que Internet ofrece en el marco del aprendizaje de todas las áreas, pero especialmente Lenguas y Ciencias. Al igual que desde siempre era el lugar en que acceder a muchos libros sin tener que pagar cada uno de ellos, hoy debería proporcionar el acceso grupal a bibliotecas y recursos virtuales en su entorno controlado.

Profesionales no docentes.
En la línea de las propuestas de enfermero escolar, el centro educativo se convertiría en un gran centro social y de crecimiento para niños y jóvenes, donde aprender en un ambiente de socialización y seguro, y abierto al resto de la sociedad y al servicio de su vida presente, no sólo futura, si se incorporase la prestación de servicios por parte de profesionales especializados no docentes o sólo parcialmente relacionados con la docencia: el mencionado enfermero, vigilantes (que se ocupasen de autobuses, instalaciones y guardias; quizá coordinados con la conserjería, y que pudiesen estar en parte reservados a veteranos de profesiones con requisitos físicos que por motivos de edad o en general condición física ya no pueden desempeñar: militares, bomberos...), bibliotecarios, subinspectores con tareas administrativas (cuerpo que podría crearse a partir de los actuales administrativos de los centros y que podría asumir parte o todas las funciones de los secretarios), psicólogos y asistentes sociales (que podrían formar parte del equipo de orientación), etc.
Lo cual, por si se levantan suspicacias contra un posible despilfarro en personal, no supondría un exceso de nuevos puestos, sino el traslado de servicios que ya se prestan a la infancia y la juventud (y al profesorado) al lugar donde pasan muchas horas al día y donde pasarían más dentro del esquema que estoy describiendo en esta entrada. Estos profesionales cubrirían además parte de las horas no docentes de los profesores, permitiendo una concentración de éstos en la tarea en la que son especialistas. Por añadido, el director del centro adquiriría una nueva dimensión, como líder de una institución aumentada respecto a lo que ahora es:

...escuelas como núcleos comunitarios [...] convertir a los centros escolares en núcleos proveedores de servicios a la comunidad, desde prestaciones sanitarias hasta servicios sociales. (El bosque pedagógico, p. 113).

Lo cual redunda en la idea de que los directores deberían tener una carrera diferenciada dentro de la profesión docente (Libro blanco de la profesión docente).

Toni Cantó y las lenguas cooficiales

Voy a empezar por un relato de fake news. Por los hechos crudos.

El 25/09/2018, en el Congreso de los Diputados, "Toni Cantó, diputado de Ciudadanos, expone en nombre de su grupo su moción sobre Garantía de la igualdad en el acceso y promoción en el empleo público sin discriminación por razones lingüísticas" (entrecomillo la descripción del vídeo).

Una pequeña parte de la intervención referida a las condiciones de acceso al funcionariado ha sido muy polémica, al referirse a abusos en la convivencia entre la lengua oficial y las cooficiales:

"...en el ámbito educativo, en algunos lugares de nuestro país, no se pueda utilizar alguna de estas lenguas, no se pueda utilizar el castellano o el español, es un hecho, yo creo que nadie lo puede negar aquí: que el castellano, el español, ha desaparecido en lugares como Cataluña, como Baleares, como la Comunidad Valenciana, como el País Vasco, o como Galicia".

El anterior entrecomillado es mío, e implica que transcribo tal cual las palabras del orador, de modo que sólo es interpretable algún detalle de puntuación, que en una intervención oral es ambiguo.

Pues bien, a continuación las referencias que prensa varia dedicó a dicha intervención y argumento (y OJO, los entrecomillados son los de los propios titulares, no míos:

• Faro de Vigo: Toni Cantó: "El castellano ha desaparecido en Galicia" [vemos que este entrecomillado es un collage].
• Eldiario.es: Toni Cantó, que habló en nombre de Ciudadanos, trazó un escenario terrorífico del que no se tenía noticia: "En algunos ámbitos, el español ha desaparecido en lugares como Catalunya, Baleares, la Comunidad Valenciana y el País Vasco" [el adjetivo "terrorífico" apunta a una intención ridiculizadora].
• Elplural.com: Ciudadanos, el partido del "castellano perseguido", celebra la diversidad de lenguas oficiales. El tuit de la cuenta de la formación en Cantabria se publicó pocas horas después de que Tardà dejara en ridículo el discurso españolista de Cantó [más interesante que los argumentos son el ridículo, usar el adjetivo españolista como una tacha e inventar una contradicción que no existe si se escucha la defensa de la diversidad lingüística real que hace Cantó en el mismo discurso tan sólo segundos antes].
• La Voz de Galicia: Toni Cantó matiza su ataque al gallego: «No creo que el castellano esté desaparecido en Galicia». La RAG y el PPdeG coinciden en censurar al diputado [ha habido un presunto "ataque", y se habla de que "matiza" como si Cantó hubiera corrido a intentar enmendar un error, con lo que se lo califica implícitamente de voluble, cuando en realidad se trata de una explicación que da en respuesta a una pregunta de una periodista:] "Yo lo que dije es que está desapareciendo la posibilidad de que muchos trabajadores se muevan libremente por España. Lo que está en peligro es que muchos gallegos puedan trabajar, opositar, optar a una plaza en mi tierra, en Valencia, o en Baleares por la lengua. Por el problema lingüístico." [Pero por algún motivo Tamara Montero, autora de la entrevista y noticia, no se había enterado de que todo el discurso de Cantó iba de eso; estaría bien que saber el proceso por el que se decidió la orientación del titular].
• Galicia Press (otra entrevista derivada de la intervención parlamentaria original): Olga Louzao responde así a la polémica intervención de su compañero, diputado en el Congreso, donde dijo que “es un hecho que el castellano ha desaparecido de Galicia” [ojo a esa presunta cita textual entre comillas que ataca de nuevo].

Luego están los artículos de opinión, en los que ya paso de meterme, porque son más responsabilidad de opinador de turno que del periódico entero en sí. Titulares mucho más honrados y veraces serían como éste en "Las Provincias":

Cs lleva al Congreso una moción en contra del requisito lingüístico.

Breve y ajustado a lo que Cantó planteó.

Todo lo cual me lleva a ofrecer al estimado lector de este recóndito blog un consejo que me aplico: desconfíe del efectismo periodístico, lea los artículos enteros y acuda a las fuentes originales.

- O -

Dicho lo cual, voy a la segunda parte de esta entrada. Como empleado de la administración educativa gallega doy fe de que las comunicaciones oficiales (ni las sindicales) se hacen sistemáticamente en gallego, y de que muchos docentes se fuerzan a hablar en gallego fuera de las aulas, por motivos que todavía desconozco. En lugar de existir una coexistencia y parcial mezcla lingüística sin conflictos, como ocurre en la sociedad gallega.

Por tanto, en esto yo seré opinador sobre las lenguas cooficiales en esta España de nuestros pecados, aunque lo haré en la siguiente modalidad: proponer directamente una serie de conclusiones fundamentadas mayormente en todo lo dicho en anteriores entradas al respecto del gallego y otras lenguas cooficiales:

• Las lenguas son códigos convencionales de comunicación, y sólo secundariamente elementos de identidad, a lo que con todo hay que recordar que la identidad ha de ser individual. Rechazo las identidades colectivas, porque incluso éstas son fruto de decisiones individuales.
• Los territorios no tienen lenguas. Hablar de lengua propia de un territorio, como hace alguna legislación de España, es una simplificación. En un territorio vive gente, que en su vida personal hablará una u otra lengua según conveniencia.
• Si en un territorio mucha gente habla de una manera parecida y distintiva respecto a otros grupos de gente, no es algo necesario ni inmutable, pues la gente debería ser libre de 1) cambiar de lengua o 2) moverse de territorio.
• El que con cierta frecuencia una lengua lleve el nombre de un territorio es una casualidad histórica como otra cualquiera. Hay muchas lenguas cuyo nombre no corresponde a elementos geográficos.
• Todas las lenguas actuales desaparecerán, pues aunque no se extingan, transcurrido el suficiente tiempo habrán cambiado tanto que serían incomprensibles para sus hablantes actuales (esto asúmanlo los filólogos conservacionistas y profesores de cualquier lengua; si alguno tiene en mente que el latín se dejó de hablar, hágaselo mirar, pues planteémonos como ejercicio el elucubrar cómo se llamaría el latín hoy en día si se hubiera mantenido como una lengua unida en lugar de atomizarse).
• Conservar una lengua no tiene que implicar mantenerla viva en un grupo de hablantes, porque eso implicaría que ponemos el conservacionismo de unos por encima de la libertad de los hablantes. Para conservar una lengua hay que dejarla bien registrada y a partir de ahí que sus hablantes hagan lo que quieran.
• Las lenguas no son sujetos de derecho.
• El contacto entre lenguas se produce no en una sociedad en general sino, en el fondo, en individuos que manejan varias de ellas a la vez. La única manera de impedir la contaminación entre lenguas en contacto es eliminar la necesidad de la no deseada mediante el aislamiento, lo cual es un atraso. En el que, dicho sea de paso, muchos conservacionistas lingüísticos están instalados.
• Una lengua pertenece a sus hablantes. Las "academias de la lengua" son instituciones científicas y no deben estar para mandar cómo decir algo, sino cómo lo dicen sus hablantes. Las verdaderas autoridades lingüísticas no son las academias, sino los gobiernos que fijan las normas oficiales (lo cual es una carga de responsabilidad sobre ellos).
• Por hablar de la propuesta de Cs, que una lengua cooficial sea un requisito, en lugar de un mérito "simple" (como lo calificaba la noticia de Galicia Press), en realidad perjudica al territorio con cooficial, ya que los aspirantes a funcionario mejor cualificados y que tengan las dos lenguas pueden moverse por todo el territorio nacional, mientras que los que carecen de alguna de las lenguas cooficiales quedan excluidos de parte de dicho territorio, con lo que estas partes acaban acumulando funcionarios no tan cualificados.

Inclusión y didáctica: una reflexión

Nota previa: la presente entrada es mi tarea de cierre para el curso “Estratexias para unha escola inclusiva e a atención á diversidade”, organizado por el CFR de Pontevedra en septiembre de 2018.

Voy a describir un conflicto que surge en la praxis de la inclusión en el centro educativo. Llamaré la atención sobre dos tendencias que, aun trabajando ambas en pro de la inclusión, en la práctica se contraponen.

1) El esquema bien sabido y repetido por los más implicados en la inclusión nos recuerda las fases del proceso:

• exclusión (de discapacitados varios del derecho a la educación y el sistema educativo);
• segregación (de los discapacitados en centros especiales);
• integración (de aulas/zonas/entornos de discapacitados en los ordinarios);
• inclusión (total indiferenciación entre los alumnos discapacitados y los demás).

El objeto de esta insistencia de dichos profesionales o voluntarios implicados es dejar clara la necesidad de transición entre las dos últimas fases, que debe completarse en nuestro tiempo. Y el criterio del mismo es la preponderancia de la socialización dentro de las actividades educativas y su utilidad como vehículo de aprendizaje.

2) La contraposición no surge en la inclusión en los espacios comunes de los centros educativos, sino cuando nos fijamos en el espacio físico destinado específicamente al aprendizaje, que es el aula. Dentro de la atención a la diversidad, medidas habituales son el agrupamiento de alumnos en aulas pequeñas, la separación de alumnos a los que se dan clases de apoyo o los refuerzos con exención de otras materias, también separando a alumnos del grupo principal.

Tenemos por tanto que, en aras de la atención a la diversidad de alumnos con dificultades educativas, hay por un lado una tendencia a la inclusión en el mismo espacio y por otro la separación en espacios diferentes.

Y el criterio por el cual un alumno caerá en un lado u otro es curioso: si es un alumno sólo con dificultades, se le separa; si es discapacitado, se le debe incluir.

Ésa es la contradicción: si abstraemos la mera variable del nivel de dificultad específica de aprendizaje de unos y otros, podemos acabar por encontrarnos con que los que tienen más dificultades se mantienen en el aula; los que menos, se separan, y los que no tienen ninguna, vuelven a estar todos juntos (porque de hecho definen lo que es el grupo ordinario).

Entonces, ¿la dificultad debe implicar separación o no? Hay pros y contras, precisamente según tengamos en cuenta el mencionado criterio de la utilidad de la socialización en el aula.

Si la socialización fuera criterio supremo, no habría duda: todos juntos en todos los espacios, aula incluida. Empero se mantiene la resistencia, por parte de los docentes que desean transmitir su materia, o del sentido común general, de conservar el aula como espacio en el que la transmisión de conocimientos, valores y otras ideas es más practicada (lo cual no quiere decir que en general se considere el aprendizaje como la primera tarea dentro del aula).

Por tanto, la socialización aún no es suprema. Entonces sólo se resuelve la contradicción bajo el concepto de que a unos alumnos la socialización les dificulta el aprendizaje, y les viene mejor la separación, y a otros se lo facilita, para lo cual es mejor no separarlos.

Pero en este punto podemos ir más al detalle: ¿en qué sentido es perjudicial o beneficiosa para unos u otros la separación? Voy a entrar en ello diseccionando un ejemplo polémico: la separación en aulas por sexos. Sectores más conservadores de la comunidad educativa lo defienden; los más progresistas, obviamente, lo denuestan. El origen de la idea entre los primeros podría estar en la tradición; pero el argumento con que la sostienen es de eficacia didáctica: evitar distracciones propias de la efervescencia hormonal adolescente, de fijarse en miembros del sexo opuesto. Eso encierra una paradoja horrorosa, que debería hacer insoportable la existencia (entiéndase el sarcasmo) para los segregadores según sexo: ¿dónde metemos a los homosexuales? Si con los de su sexo, se distraerían ellos; si con los del contrario, los demás. Lo que, usando la cabeza y volviendo a la seriedad, se resuelve del modo siguiente: quizá a algunos sí les distraiga la presencia de miembros del sexo deseado, y a otros no. Es decir, la separación tendría que evaluaríse individualmente, dependiendo de la psicología de cada alumno.

Y ahí llegamos al nudo del asunto. Lo repito: “la separación se evaluaría individualmente, dependiendo de la psicología de cada alumno”. No dependiendo de lo que tenga en en bajo vientre, criterio sexista que es el usado burdamente (por lo que hemos dicho de la homosexualidad para empezar) para efectuar la separación entre unos y otros. Expuesto a la luz de las necesidades, el criterio sexista pierde todo sentido, como lo pierde el de separar a los alumnos afectados por uno u otro síndrome con implicaciones psicológicas, como ha expresado el relator J.M. Carballa en relación al síndrome de Down.

Un sistema educativo realmente flexible (y por ello eficiente) pasa por atender a ese ideal tantas veces mencionado: la atención a la diversidad. Voy a opinar lo siguiente: que la atención a la diversidad se logrará de manera plena cuando su espíritu sea no el de medidas especiales respecto al tren común de un desarrollo curricular, sino el planteamiento por defecto. Es decir, que la psicología de cada alumno sea considerada individualmente.

Por ello:

• Si una mayoría de alumnos están en un grupo común mayoritario que permite llevarlos a todos juntos en el camino del aprendizaje, sea.
• Si unos u otros tienen diferentes dificultades para aprovechar el aprendizaje de la mayoría, sean separados. Pero no por grupos estancos, sino por materias o áreas, pues bien es posible que en algunas entren dentro de la mayoría pero en otras tengan más dificultades, y esto es reconocido en la actual organización de grupos y refuerzos.
• Lo anterior se aplica no sólo a los alumnos que van más lentos, sino también a los aventajados. Diría más: en contra del temor de las tendencias que procuran la integración grupal como hecho indiscutible, el sistema debería poder respetar a los alumnos que prefieran el estudio y desempeño en solitario por sus características individuales (no por circunstancias más ajenas al aprendizaje como p.ej. la preferencia de los padres).
• Si otros, en fin, tienen dificultades de aprendizaje pero la inclusión en el aula mayoritaria le viene mejor, valga también.

En cualquier caso la separación ha de ser no de manera gruesa de los que tienen dificultades de modo indiferenciado, sino también por variedades; es decir, de igual manera que se nos ha planteado durante el curso que, p.ej., no todos los alumnos con síndrome de Down tienen idénticas dificultades, esta variabilidad debe considerarse para todo el alumnado, y un psicólogo especialista en el aprendizaje debería estar disponible para evaluar a cada alumno (o al menos a aquellos en que se identifiquen singularidades) sobre el terreno, esto es, en el aula.

Para todo lo cual una serie de medidas necesarias serían:

• “Derribar los muros de las clases”, como a menudo se dice. Es decir, trabajar no de manera estanca sino abierta, con la interdisciplinariedad propia de la vida real, con varios profesores e incluso psicólogos por sala, metodologías mixtas (proyectos, seminarios, clases magistrales según conviniere), determinar el número de alumnos por aula según conveniencia pedagógica y sin el límite de un máximo , etc.
• La creación de un cuerpo entero de psicólogos de aula para analizar a los alumnos y apoyar al profesorado encargado de la transmisión de conocimientos.
• Una organización flexible de la docencia, con horarios, calendarios y destinos que atiendan primero a las necesidades del alumnado y luego a la conveniencia de los docentes.
• Una reducción de los contenidos curriculares a lo que tenga utilidad práctica posterior, y una adecuación de la didáctica para ello.
• Una puesta en común al nivel administrativo más alto posible (autonómico, nacional, europeo, internacional) de los recursos, procedimientos… información en definitiva para una inclusión exitosa y un aprendizaje efectivo, en centros de recursos didácticos, como el “Consejo Pedagógico del Estado” que plantea el Libro Blanco de la profesión docente y su entorno escolar (J.A. Marina et al., 2015).

Reflexión sobre el tema teórico en las oposiciones de profesores de Secundaria

Quiero añadir a mis anteriores entradas sobre oposiciones una reflexión específica sobre la parte B de la primera prueba, es decir, "el desarrollo por escrito de un tema elegido por el personal aspirante de entre cinco temas de los temarios que componen el temario oficial de cada especialidad, extraídos al azar por el tribunal". De modo que el proceso, en teoría, va de la manera siguiente:

• El Gobierno establece los requisitos de conocimientos técnicos necesarios para ser profesor de Secundaria, requisitos plasmados en una lista de unas decenas de temas.
• El aspirante a profesor funcionario toma dicha lista y prepara cada tema (cuyo título es largo e incluye varios "epígrafes") según su buen saber y entender.
• En el examen, el aspirante plasma con la máxima rapidez posible en las 2 h que se le dan, el tema elegido de entre los cinco sorteados.
• En la corrección, el tribunal examinador evalúa según su buen saber y entender, que incluye la experiencia docente, el tema.

En principio, un proceso bastante razonable. Pero vamos a apuntar una serie de aspectos que lo hacen descarrilar de ese funcionamiento ideal:

• De los temas, el aspirante sólo conoce oficialmente el título, publicado en sus correspondientes Órdenes ministeriales. No existe un temario oficial desarrollado. Por tanto, tanto el aspirante para preparar un tema como los tribunales para evaluarlo no disponen, en principio, de una referencia oficial con criterios comunes sobre los contenidos concretos, sino sólo vaguedades sobre "criterios de actuación".
• Oficiosamente, las referencias de contenidos las proporcionan los temarios desarrollados por academias o editoriales de oposiciones. Lo cual implica que el Estado está poniendo parte importante de la Administración en manos de empresas privadas por medio de la selección de personal, que no es poca cosa.
• Lo anterior no sería especialmente negativo si los tribunales mantuviesen su criterio propio como referencia también para los contenidos, pero también ellos caen en el problema de tomar como referencia el material de empresas privadas, pues al fin y al cabo en lo que son expertos es en la práctica o inspección docente, pero no son más expertos que los aspirantes en la preparación técnica del temario, por el simple hecho de que los miembros de tribunales son profesores (no investigadores de sus ramas del conocimiento, o ingenieros, filólogos, físicos, etc. ejercientes), mientras que los aspirantes son "opositores" (concepto aberrante en mi opinión), al menos parte de su tiempo (y sobre todo los que no ejercen ya como profesores interinos o sustitutos).
• El sorteo de temas es uno de los procedimientos que convierten las oposiciones en una "lotería", como son a menudo denominadas. Echando cuentas, encontramos con que para un temario habitual, estudiar sólo 9 temas dan en torno al 50% de probabilidad de que salga uno de los estudiados; 16 temas, el 75%, y el 90% se consigue con sólo 25 temas. En definitiva, el aspirante que sepa aprovechar el tiempo simplemente probará suerte con el tema teórico estudiando unos cuantos, o lo que es lo mismo, el procedimiento de sorteo va en contra de la exigencia de conocimientos teóricos al favorecer que el aspirante prepare sólo una parte de la materia. Y así, según dicte la fortuna, unos años pasarán candidatos que saben una parte del temario, otros los que otras, pero esta parte del examen nunca nos asegurará el pase de aspirantes con dominio íntegro del temario. Hay que dejarlo a otras partes de la oposición, lo cual cuestiona la utilidad de esta parte.

¿Qué podría hacerse para corregir el proceso?:

• Lo primero viene de algo apuntado arriba: que los tribunales mantengan sus conocimientos técnicos como referencia para la evaluación. Si no superan a los candidatos en dichos conocimientos, los tribunales al menos deberían estar abiertos a más opciones que las determinadas por empresas privadas.
• Si aun así se pretendiese facilitar la tarea de los tribunales ofreciéndoles una referencia de contenidos, lo siguiente vendría de suplir la ausencia apuntada arriba: que equipos de expertos en cada especialidad elaborasen los temarios oficiales correspondientes y éstos se pusiesen a disposición del público. Lo siento por las empresas que han hecho negocio de esta ausencia del Estado, pero no tiene que ser así por siempre.
• Se podría también revisar los temarios y hacerlos más auténticos. Lo habitual es que cada especialidad tenga un temario de en torno a 70 temas, y hay que plantearse si esta habitualidad no corresponde más al tipo de examen de la oposición que a las especificidades de la especialidad, invirtiéndose también en este aspecto el sentido de la selección de profesores: en lugar de servir al alumno sirve al "opositor".

En cualquier caso, en este punto nos encontraríamos con que el aspirante plasmaría un tema que tiene memorizado y el tribunal lo corrige en base a una plantilla, y esto, que ya en tiempos pasados podía haber sido discutible, en la era de Internet y la sociedad de la información clama al cielo. De hecho, la ausencia de un temario oficial sirve como excusa para dejar las manos libres para que los tribunales finjan que la situación es la ideal en que se valora libremente lo expresado por el aspirante en sus 2 h de escribir como un poseso. Con un temario compartido por examinadores y examinando, llegaríamos a la conclusión de que esa parte de examen es una mera copia de contenidos sin espacio para la originalidad individual del aspirante, y que para eso es mejor una fotocopiadora o un copiar-pegar de ordenador.

Intentemos evitarlo. Intentemos huir de la memorística. Busquemos una manera más auténtica de "saberse" el temario. La solución tiene que ser de un cambio más profundo del modelo de examen teórico.

Pongamos que el Estado, como decíamos arriba, establece no sólo los títulos de los temas sino el desarrollo de contenidos que debe saber el futuro docente de una especialidad. Pongamos que los tribunales van a evaluar al aspirante con el temario en la mano; que, de hecho, a la hora del examen el temario se pone a disposición del aspirante. ¿Qué puede aportar éste? Pues todo lo que sea personal, original y creativo: una visión particular, aspectos de interés, referencias cruzadas, novedades en la investigación de la materia, etc. Cosas que no se obtengan de una fotocopia predeterminada.

Claro que estos aspectos obligarían a cambiar el tipo de examen, haciéndolo más parecido a la segunda prueba, por tratarse de una presentación oral y ¿por qué no? también visual, pudiendo el aspirante aportar medios preparados en casa para ese tema. Así también se podría reducir el número de temas que se sortean para evitar un conocimiento parcial del temario; al fin y al cabo el aspirante no va a tener que emplear tiempo en memorizar, sino en elaborar exposiciones personales de los temas, porque en el examen dispondrá de ellas.

Aunque esto obligaría a un calendario de oposiciones más extenso, medios hay suficientes para ello, para cambiar a mejor. Pero ¿hay voluntad?

NOTA a 04/11/2019: la imagen presentada abajo es la rúbrica (como se suele llamar últimamente en el ámbito de la enseñanza) o checklist (como se llama tradicionalmente en el ámbito de la gestión de la Calidad) correspondiente a uno de los temas que salió en el sorteo de oposiciones de la especialidad de Geografía e Historia en Galicia en 2019, utilizada por los tribunales. Es decir, retomando lo dicho arriba, SÍ existe una suerte de "temario oficial" de referencia para los tribunales, que consistiría en el conjunto de rúbricas para cada tema.
Ahora bien, al menos en Galicia, actualmente la orden de convocatoria de oposiciones de cada año incluye la rúbrica para la segunda prueba (examen de la parte didáctica), pero no para la primera. Es decir, existen rúbricas, pero no son públicas. ¿Por dónde circula entonces la que figura abajo? Entre preparadores y opositores que han conseguido el acceso a dicha información previo pago de un importe; es decir; que en parte se discrimina a los posibles candidatos en función de sus recursos.
¿Por qué no se publican entonces las rúbricas que existen, todas sin excepción? ¿Por favorecer el negocio de la preparación de oposiciones? ¿Porque a nadie se le ha ocurrido? ¿Por...?
Lo anterior confirma que dicho negocio, que es legítimo, se alimenta sin embargo de la corrupción del actual sistema de oposiciones, que proviene de la incapacidad del Estado (incluidos los partidos que rehuyen el pacto educativo, y las Comunidades Autónomas con sus competencias transferidas) para actualizar los procedimientos. Una dejación imperdonable que acumula detritos y contribuye a alejar cada vez más el sistema educativo de la realidad.

Oposiciones de Secundaria. Gráficas Galicia 2018.

Aporto a continuación gráficas al estilo de la presentada aquí, a modo de complemento para anteriores entradas sobre enseñanza y oposiciones, y al objeto de mostrar lo obsoleto de los exámenes de acceso a la función pública docente tal como están planteados ahora.

En particular se demuestra con datos fehacientes que la práctica de usar la primera prueba como criba de número de candidatos, no del nivel técnico de éstos, dejando casi sin utilidad el resto del concurso-oposición, es un hecho habitual independiente de tribunales o especialidades.

Se presentan diagramas de barras con resultados de Galicia de este año 2018 en varias especialidades, y para cada una el primer y último tribunales y otro intermedio. Son las notas de la primera prueba del turno libre, tanto si finalmente superaron el concurso-oposición como si no. Están agrupadas cada 0,25 puntos.

La práctica de criba para obtener un sistema, que en la práctica es de números cerrados, se realiza tal como describo aquí: una primera corrección que sólo apruebe unos pocos casos indiscutibles y una posterior revisión o "repesca" de los suspensos, al menos de los más altos, para obtener el número de aprobados de la primera prueba deseados. En las gráficas, esto se evidencia en una anormal escasez de suspensos, y una anormal abundancia de aprobados, cercanos al 5.

O, lo que sería casi más terrible, como se puede ver abajo en "Geografía e Historia. Tribunal 1", el que falten casos justo por encima del 5, los casos que aparecen justo por debajo, indicaría que las notas pueden haberse revisado... para rebajarlas y suspender a candidatos.

De esto último no tengo reconocimiento explícito, pero sí de lo primero: miembros de tribunales de Matemáticas han reconocido la práctica, que es uno de tantos defectos a erradicar de este decimonónico método.

Me sumo a Tabarnia

...sin mucho más que decir que poner un mapita:

para que ilustres que defienden lo de "países diferentes que votan de manera diferente", cliquen aquí, lo piensen un poco y se miren al espejo de sus propias incoherencias.

Créditos: mapa, escudos y datos de población están extraídos de Wikipedia para las comarcas de Cataluña, las provincias de Barcelona, Tarragona, Gerona y Lérida, las comarcas de Osona, Berguedá, Segriá, Garrigas, Plana de Urgel, Urgel, Segarra y Valle de Arán, municipios de Massanet de la Selva, Blanes, Lloret de Mar y Tosa de Mar y el Condado de Urgel.

Nacionalismo cubierto de mierda

Retomo el tema del nacionalismo catalán con algunas reflexiones que me suscita su actual intento separatista, pues está evidenciando una serie de rasgos que, si no tienen por qué ser comunes a todas las posiciones nacionalistas, sí se encuentran entre ellas. A saber, el actual independentismo catalán muestra tintes:

Etnicistas, porque está basado y exalta las diferencias entre los catalanes y los no catalanes, particularmente los demás españoles.

Han llegado a racistas, y pocos como un independentista pueden haber sacado a colación la genética en el marco de sus ideas políticas (en una reflexión ponderada, no en un arranque desbocado en Twitter) quedándose tan anchos.

Falsarios, no sólo por interpretar la realidad política a través de una lente, digamos, muy particular, sino especialmente en ese increíble y subvencionado esfuerzo por reescribir la Historia cambiando datos de la manera más burdamente etnocéntrica.

Supremacistas, porque desprecia por inferiores a los no catalanes, que sólo se dignifican al identificarse con Cataluña.

Identitarios y por tanto atrasados, tribalistas y xenófobos, porque más allá incluso de las cuestiones lingüísticas del nacionalismo tradicional, también se considera aceptable al que sencillamente se identifica con el grupo diferenciado del "pueblo catalán" por otros motivos.

Intolerantes, porque no soporta la existencia en Cataluña de culturas o al menos ideas políticas que no estén por el catalanismo, ni soporta idea de que el inevitable fluir de la cultura haga desaparecer la cultura catalana con el paso del tiempo, ni considera catalanes a los no independentistas cada vez que habla de la voluntad del "poble català", etc. etc.

Totalitarios, porque admiten que la catalanidad o el independentismo, en lugar de ser un rasgo individual, impregne todos los aspectos de la vida cotidiana.

Dictatoriales, porque es incapaz de obrar bajo el esquema de separación de poderes, cada vez que mezcla en una misma crítica la acción judicial que ha puesto a algunos líderes en la cárcel y la blanda acción del Gobierno de la nación que se ha limitado a parar un poco el carro y convocar elecciones autonómicas.

Imperialistas e irredentistas, fijando el objetivo de unos "Països Catalans" unos, grandes y libres, definidos por rasgos culturales sujetos a la ideología de un núcleo nacionalista catalán, que superan la prosaica demarcación administrativa.

Delictivos en lo revolucionario, porque no le importa saltarse las (democráticas) leyes vigentes en pos de su utopía política.

Insisto, no es que todas las posiciones independentistas compartan todos los rasgos, sino que son exhibidos por unas u otras de ellas.

Y a todo esto, asisto con inagotable asombro a la capacidad de la izquierda para alinearse con el nacionalismo una vez más: desde comprender hasta apoyar, más alineados cuanto más a la izquierda, se tragan doblados todos esos defectos, que sin embargo en seguida detectan en las posiciones no nacionalistas. Y asombrosa es el ansia de la derecha en seguir deseando la vuelta a la época en que bastaba soltar el alpiste a unos pocos diputados de un par de trozos de España para campar a sus anchas en el resto del país.

Y siguen el nacionalismo y la izquierda, más cuanto más extrema, aferrados a un argumentario bien obsoleto, invalidado por el simple sentido común: excepcionalidad catalana, "derecho a decidir" y falta de democracia en Cataluña (en el resto de España da igual), situación colonial u oprimida de Cataluña, nacionalismo "españolista", presos políticos... y mierda, mierda y más mierda.

Son espantajos con los que los demás no cargamos: España es una democracia (imperfecta como toda obra humana) desde que el franquismo se disolvió; la bandera de España representa oficialmente la libertad y fraternidad y todas las cosas buenas que proclama el preámbulo de nuestra vigente Constitución, independientemente de lo que algunos extremistas pretendan; los políticos presos no son presos políticos si son independentistas y unos chorizos despreciables si del resto de España; y sobre todo, yo no puedo salir a la calle y hacer lo que me dé la gana en virtud de una mayoría obtenida en votación en mi casa, porque si lo hago, me llamarán la atención, pondrán una multa, darán un porrazo o meterán en la cárcel, y sí, señores, esa represión será democrática, lo mismo que la represión de los pacíficos narcotraficantes que se dedican a vender a pacíficos drogadictos sus pacíficos estupefacientes, o de los pacíficos viejecitos que se despistan pacíficamente en las rotondas y recorren la autovía pacíficamente en sentido contrario. Despierten, por favor, de la pesadilla en que se mantienen: su país ya se cuenta entre los libres y prósperos.

Esto tiene que acabar. Pregunto a nacionalistas y ultraizquierdistas: ¿qué pasaría si no pudiéramos distinguir a un catalán de un no catalán? De verdad, agarremos cualquier discurso o manifiesto catalanista (p.ej.) y sustituyamos o intercambiemos todas las referencias a "Espanya" o "espanyol" por "Catalunya" y "català", o viceversa. Si nos sale un mejunje sin sentido, es que no tenía sentido al principio. Cambiar el simple letrero de la gente a que se refiere una idea política no debería cambiar dicha idea en sí. Benvinguts a la democracia avanzada.

Historia negra del comunismo

He "celebrado" el centenario de la revolución bolchevique leyendo (me ha llevado unos 17 meses, poco a poco) El Libro Negro del Comunismo. Editado en Francia en 1997, aún le faltaba ver al comunismo hacer presa en Venezuela, pero en cualquier caso el repaso de aplicaciones de esa ideología que hace es más que suficiente para dejar una serie de cosas claras:

Que el comunismo practicado por los bolcheviques e inspirado por ellos es un movimiento criminal desde sus orígenes, que con la excusa de servir a los desfavorecidos puso en marcha una política basada o que resultó en imposición, odio, asesinatos de individuos y colectivos (hasta genocidios), purgas, guerra, hambrunas (planificadas como herramienta de exterminio o causadas por la incapacidad de los que querían lo contrario), delación, totalitarismo, destrucción, contaminación. Etcétera.

Que en los intentos de aplicar el comunismo hechos en un país tras otro o bien se ha intentado repetir la perniciosa receta de ejemplos previos, o bien se han intentado aplicar novedades locales que han resultado en los mismos males.

Que el comunismo es la religión política de las sociedades industriales, que no promueve el pensamiento crítico más que para criticar las sociedades abiertas y someterse a sus particulares "imanes" o "popes" de turno, y es tan divisiva, atrasada y propia de los simios que somos como cualquier otra ideología que ponga el acento en la diferenciación entre grupos humanos y el odio al diferente: el comunismo odia al "capitalista", al "burgués" y al "contrarrevolucionario" (uno más de los rasgos que comparte con el nazismo, v. p.ej. la autobiografía personal y científica de Eric Kandel). Esos títulos de desprecio se otorgan a discreción lo mismo que otros declaran anatemas o fatwas.

Que las sociedades abiertas siguen atacadas por la demagogia y la susodicha falta de racionalidad, y la propaganda estalinista que engañaba a unos incautos oceánicos en el segundo cuarto del s. XX se reproduce inagotablemente, inasequible a la evidencia práctica de que el comunismo ha comportado siempre grandes males y fracasos.

Que, siguiendo a Popper, la reforma progresiva es un camino más seguro hacia cualquier posible progreso de la Humanidad que cualquier revolución que parta de cero y por tanto de defectos desconocidos.

Y que, en fin, cualquiera que enarbole la bandera del comunismo (llamándolo por ese nombre o no, pero especialmente si lo llama así) es un inocente desconocedor de las pruebas proporcionadas por la Historia, o es un malvado insensible que las conoce pero desprecia el sufrimiento del prójimo, porque para él es menos relevante que ir en busca de su personal utopía.

Catan, dados y matemáticas

He hablado ya antes de variantes de Catan, pero no me planteé en aquel momento una posibilidad que ahora trataré, que desde luego da para una entrada de blog entera: cambiar los dados.

Por centrar el asunto tanto para los que estén familiarizados con Catan como para los que no, hemos de recordar que Catan usa los dados de manera muy sencilla: utiliza el resultado que se obtiene de sumar los valores de dos dados tirados simultáneamente. Pone en funcionamiento diferentes celdas del tablero dependiendo del valor obtenido. Por tanto, si en Catan vamos a cambiar los dados, debemos ceñirnos a lo que el juego necesita: resultados entre 2 y 12, con probabilidades en principio diferentes.

Pues bien, voy a plantear combinaciones de dados diferentes a la más sencilla de dos dados cúbicos. Es la más sencilla porque el cubo 1 a 6 es el dado más habitual, y la combinación de resultados es sumarlos, a su vez la operación aritmética más básica.

Y como soy profesor de Matemáticas voy a referir el estudio de cómo funcionarían las diferentes alternativas de dados a los diferentes niveles (de España). Empezamos por lo más elemental, que como hemos dicho es:

6x6: dos dados de 6 caras cada uno, numeradas de 1 a 6.

Aviso para los alumnos más jóvenes: si no lo pensamos mucho, podríamos decirnos: de la misma manera que un dado va de 1 a 6, dos dados irán de 1 a 12. Pero ¡ojo!, para empezar nunca podremos obtener un 1, ya que lo mínimo que podremos obtener en cada dado es ese valor y, al sumar ambos, el mínimo será un 2. Por tanto, nuestros resultados irán de 2 a 12.
Ahora bien, podríamos también generalizar nuestras ideas referidas a un solo dado y decir: la probabilidad de obtener cualquiera de esos valores de 2 a 12 es la misma. Pero no es así, y de hecho el juego Catan aprovecha esta circunstancia para que los valores más probables tengan más efecto en el juego.
Para ver por qué no todos los valores son igualmente probables, construiremos una útil herramienta llamada "tabla de doble entrada".
Empecemos con una tabla sencilla donde se reflejen los seis valores posibles de un dado cúbico:

Ahora a los alumnos ya no tan jóvenes: consideramos que el dado no está trucado si la probabilidad de obtener cada uno de los valores es la misma, que según Laplace se calcula: uno de los números concretos / total de números, es decir 1/6. Podemos comprobar que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1, o dicho de otra manera, que la probabilidad de que salga un número entre 1 y 6 es del 100 %, como es de esperar de acuerdo a la definición matemática de probabilidad.
Pues bien, ahora combinamos dos dados idénticos, poniendo los valores de uno en una fila y los del otro en una columna, y la suma de cada par en la celda de la misma fila que uno y columna que el otro:

Si hemos sumado con cuidado, obtendremos que los valores posibles son once en total, de 2 a 12. Para determinar la probabilidad de cada uno, podemos fijarnos en que como los valores de cada dado son equiprobables, los de cada celda resultado de los dos dados también lo es, de modo que sólo tenemos que contar cuántas veces aparece cada resultado, siendo, de nuevo según Laplace:

Aquí ya hemos puesto las fracciones en forma de porcentajes, para poder comparar después con lo que obtengamos para otros dados. Este caso es sencillo porque es simétrico: si nos fijamos en las probabilidades empezando por la izquierda son las mismas que por la derecha, pero los porcentajes también nos ayudarán a mantener la referencia cuando no haya tanta simetría.
Nota para los alumnos de 3º y 4º ESO, que tienen que tocar algo de lenguaje algebraico y que saber completar tablas de frecuencias: xi quiere decir cada uno de los valores, mientras que P(xi), su probabilidad, juega el papel de las frecuencias de Estadística.

Vamos por fin a complicar la cosa un punto, usando ya dados diferentes. Si les pedimos que cubran el mismo rango de valores, de 2 a 12, tienen que ser sólo dos dados, ya que si están numerados de 1 en adelante, combinar más de dos dados hará que como mínimo sumen 3: nunca obtendríamos el 2.
Por otro lado, si hemos de atender a los dados no cúbicos más a nuestra disposición, comprobamos que los juegos de dados de rol consisten en los cinco sólidos platónicos, cuyos números de caras son 4, 6, 8, 12 y 20, más dados de 10 caras consistentes en dos pirámides pentagonales unidas por las bases. 6 ya lo conocemos, y 20 son demasiados, pero 8x4 es la otra combinación (aparte de la 6x6) de sólo dos de esos dados que suman 12.

8x4: un octaedro (numerado de 1 a 8) y un tetraedro (de 1 a 4).

La tabla de doble entrada correspondiente es:

La de frecuencias se puede obtener de nuevo contando, teniendo en cuenta que cada celda es una de 32, y hay un 2, dos 3's, tres 4's, cuatro 5's, etc.:

Que también es simétrica y por supuesto suma 100%, pero nivela el temido 7 de Catan con los cuatro valores más próximos.

Las opciones con dos dados ya las hemos cubierto. Pero podemos pensar en otras combinaciones de dados aprovechables para Catan con estos dados habituales:

4x4x4: tres tetraedros.

Para los alumnos de 3º y 4º: la tabla de doble entrada nos sirve para visualizar la combinación de dos experimentos elementales como es la tirada de un dado, pero con tres dados necesitaríamos una especie de cajón con ancho, fondo y alto, una dimensión para cada dado. ¿Cómo nos las podemos arreglar?

Una vía es dar un primer paso con la tabla para sólo dos dados:

Y a continuación tomamos los resultados, los ponemos en la fila de una de las entradas de otra tabla, y en la otra entrada el dado tetraédrico que nos falta:

Ahora bien, hemos de ser cuidadosos y precisos con el cálculo de las probabilidades. Hasta ahora nos habíamos encontrado con entradas equiprobables, pero la fila que obtenemos con los resultados de la tabla 4x4 no es así, ya que 2 y 8 tienen una probabilidad de 1/16 = 6,25 %, 3 y 7 2/16 = 12,50 %, etc.

Por tanto la probabilidad de cada celda de nuestra tabla 4x4x4 ha de obtenerse según el método general para las tablas de doble entrada, que es poniendo en cada celda de las dos entradas la correspondiente probabilidad, y en la celda resultado el producto de la fila y columna correspondiente.

Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que con tres dados tetraédricos obtengamos un 3 tenemos que multiplicar la de obtener un 2 con 4x4 (1/16) por la de un 1 con el tercer dado (1/4), resultando 1/64 = 1,56 %.

Pero para obtener un 4 hemos de tener en cuenta que en un caso viene por un lado de obtener 3 con dos dados + 1 con el otro, y por el otro de obtener 2 con dos dados y 2 con otro. Es decir, las diferentes celdas donde resulta cada valor tienen en general probabilidades diferentes, y hay que calcularlas por separado y luego sumarlas.

Dejo como ejercicio obtener la tabla de probabilidades para 4x4x4:

Donde incluyo el 2 para evidenciar que nunca va a salir con tres dados numerados a partir de 1. Qué hacer con el 2 es algo que queda a nuestros criterios como jugadores de Catan (¡sí, estábamos haciendo todos estos cálculos sólo por dar alguna vuelta más al juego!). Personalmente yo, para no dejar la celda del 2 tan estéril como el desierto, optaría por ejemplo por considerar que 2 se activa cuando sale un 12, con lo que tendría la misma probabilidad que éste, por escasa que fuera, pero no nula al menos. En otras palabras, la celda del 2 pasaría a ser de 12.

Hasta aquí las combinaciones de dados que me parecen practicables durante el juego: 6x6, 8x4 y 4x4x4. Pero como ya hemos roto el principio de combinar para obtener resultados sólo de 2 a 12, porque con el 4x4x4 obtenemos de 3 a 12, podemos seguir en esa línea y usar no una combinación sino:

12: un solo dado dodecaédrico.

Sus doce caras nos darán valores de 1 a 12, equiprobables, con lo cual la distribución de probabilidades es elemental y sólo nos obliga preguntarnos qué hacer con el 1 en la partida de Catan. Una opción sería desestimarlo directamente y cada vez que saliera volver a tirar. Otra, darle un uso específico dentro de alguna variante del juego, como por ejemplo un uso alternativo del ladrón: devolverlo al desierto, usarlo para obtener recursos de la celda donde se coloque... Otra posibilidad que no requiere demasiadas variantes es considerar que el 1 tiene el mismo resultado que el temido 7 que activa el ladrón; en definitiva, todos los valores de 2 a 12 tendrían la misma probabilidad, salvo el 7, que tendría el doble. Por plasmarlo en la habitual tabla de probabilidades:

Casualmente, resulta que la probabilidad del 7 usando el dodecaedro de esta manera es la misma que tenía con la combinación de dados 6x6. Con lo cual la diferencia a la hora de jugar sólo está en que la probabilidad de que se active cualquier celda de recursos es la misma, teniéndose que escoger los lugares donde construir poblado exclusivamente por su variedad de recursos o disponibilidad de puerto.

Pero vayamos un paso más allá en nuestras variaciones con dados.
En nuestra intención de sumar 12, no vamos a dejar de recordar que éste es un número con muchos divisores: 2, 3, 4 y 6. Dados de 6 y 4 caras ya los hemos visto, pero nos podemos preguntar si no existirían dados de 2 y 3 caras. Pues los hay.
Para empezar, si nos acordamos de los sólidos platónicos, o de los poliedros en general, ni con dos ni con tres caras podemos construir un poliedro, pero no quiere decir que no podamos concebir un objeto tal que al arrojarlo contra uns superficie nos muestre al pararse una de 2 o una de 3 caras con una aceptable aleatoriedad.
Aparte de opciones ingeniosas (como esta o esta), podríamos simplemente darnos cuenta de que 2 y 3 son los divisores de 6, y como el hexaedro o cubo es el dado más abundante, podríamos incluso tallar sin ser expertos ebanistas sendos dados cúbicos, grabando en uno los valores 1, 2, 3 por duplicado, cada uno en dos caras opuestas, y el otro dado 1, 2 por triplicado.
Pero hay opciones más sencillas que esa. Para empezar, un prisma triangular con las bases suficientemente pequeñas, o redondeadas, caerá siempre sobre una cara lateral; el inconveniente es que no mostraría hacia arriba una cara sino una arista, problema que habría que solventar por ejemplo colocando el valor resultante en la arista y no en la cara (de modo parecido a como se hace con el dado tetraédrico, en que el valor resultante está en el vértice).
En cuanto a un dado de 2 caras, lo usamos de hecho habitualmente para resolver los sorteos más sencillos: es ni más ni menos que una moneda. Si asignamos a una de sus caras el valor 1 y a la otra el 2, ya tenemos nuestro dado.
Y si queremos hacer combinaciones con esos dados, las más sencillas serían 3x3x3x3 y 2x2x2x2x2x2. Vamos complicando la cosa, ya más que nada por el ejercicio matemático, porque francamente, tener que calcular un resultado sumando los valores obtenidos en cuatro o seis dados empieza a ser un poco impracticable.

3x3x3x3: cuatro dados de 1 a 3.
Para calcular las probabilidades, aún nos podemos aferrar a nuestra tabla de doble entrada de manera parecida a como hemos hecho con el 4x4x4. Primero calculamos con una tabla 3x3, con entradas equiprobables:

Aquí las probabilidades son muy sencillas: 2 y 6 tienen 1/9 = 11,11 %; 3 y 5, 2/9 = 22,22 %, y 4, 3/9 = 1/3 = 33,33 %.
A continuación ponemos los resultados de esta tabla como ambas entradas de otra:

Queda como ejercicio obtener las probabilidades:

2x2x2x2x2x2: seis monedas con valores 1 y 2.
Hasta ahora nos arreglábamos con tablas de doble entrada, pero ya con seis monedas, las combinaciones empiezan a ser inmanejables con esa herramienta.
Podemos sin embargo volver al viejo sistema de contar posibilidades equiprobables. Me explico: para obtener cada uno de los posibles valores de esta combinación, necesitamos que salga un número determinado de 1's y 2's: para el mínimo de 6, todo 1's; para un 7, sólo un 2, etc. De modo que basta con contar todas las permutaciones con repetición que se obtienen con seis 1's o 2's. Podemos intentar hacerlo a lo bruto, escribiéndolas una a una, y así obtendremos 64 opciones diferentes, con sólo una para que resulte un 6 o un 12, seis para un 7 o un 11, etc.
Pero para los alumnos de Bachillerato, ya acostumbrados al lenguaje algebraico: la manera más rápida de contar esta clase de permutaciones tiene su propia fórmula:

Aquí, a sería el número de 1's y b el de 2's, por ejemplo, y siempre n = a + b = 6, el número de dados. Tendríamos que calcular, como hemos dicho arriba, para a = 6 y b = 0, a = 5 y b = 1... hasta a = 0 y b = 6.
En cualquier caso, llegamos a esta tabla de probabilidades:

Por supuesto que con seis dados nunca obtenemos menos de un 6, y el máximo es 12 porque era nuestro criterio inicial. Después de tantas vueltas con dados, nos queda claro que cuantos más dados con valor mínimo 1, más alto es el valor mínimo, y esto no es lo que buscábamos para el juego, a pesar de que con la combinación de 4x4x4 dados pudimos sortear el problema.
¿Cómo escogemos monedas de modo que, primero, lleguen a 12, y segundo, empiecen desde 2, que es lo que necesitamos para Catan?
Aun manteniéndonos en las monedas, podemos primero pensar en romper el principio de que los dados estén numerados desde 1. Si convertimos cada punto hasta 12 en una moneda que puede decir "se suma - no se suma" tendríamos doce monedas numeradas 0 - 1. Pero de esta manera el valor mínimo es 0 y no 2, así que necesitamos elevar el mínimo a la vez que mantenemos el máximo, lo que se consigue aumentando en +1 los valores de dos de los dados, para desplazar todos los posibles valores que obtendríamos tirando esas monedas en +2. Hecho esto, de todas formas, necesitamos reducir el máximo en otros dos puntos, para lo cual eliminamos dos de las monedas con valores 0 - 1. De ese modo nos quedamos con:

2x2x1x1x1x1x1x1x1x1: dos monedas con valores 1 y 2 y ocho con 0 y 1.
Para calcular las probabilidades de éstas podemos usar las varias herramientas usadas hasta ahora:
- tabla de doble entrada para el 2x2:

- permutaciones con repetición para todas las combinaciones de diez 1's y 0's, calculadas una a una entre a = 0 y b = 10 y a = 10 y b = 1 (queda como ejercicio);
- combinación en otra tabla de doble entrada con valores de entrada no equiprobables:

Resultando de esta última la tabla de probabilidades:

Para los alumnos de 2º Bachillerato: ésta y la de 2x2x2x2x2x2 son distribuciones binomiales, que se apreciarán mejor más abajo.

Hasta aquí combinaciones de dados. Insisto en que usar más de tres dados me parece impracticable en el juego, por el incordio que supondría contar tantos valores y sumarlos. Sólo voy a dar unos pasos más que servirán de recapitulación general de las diferentes combinaciones vistas.

Gráficas.
Si reflexionamos un poco, tenemos una colección de tablas de probabilidades referidas a la misma serie de números, los naturales de 2 a 12. Pues algo que todos los alumnos de la ESO y Bachillerato sabrán hacer es representar las probabilidades en el eje de ordenadas (vertical) y los valores en el de abscisas (horizontal), con lo cual tenemos:

Realizada con Excel, al alcance de cualquiera y que recomiendo encarecidamente como contenido transversal entre Tecnología y Matemáticas en la ESO. En el caso del dodecaedro (12) he aplicado la mencionada regla para Catan de que el 1 es también un 7. No he representado las probabilidades nulas para evidenciar los valores mínimos y otras características: simetría, media y concentración, que los alumnos de 3º ESO en adelante (y por tanto todo adulto medianamente competente) han de comprender.
Como habíamos dicho arriba, comprobamos la silueta de la distribución binomial en la 2x2x2x2x2x2, sobre todo si la comparamos con las otras simétricas respecto al 7. También comprobamos que las distribuciones se acercan a la binomial cuantos más dados, y de menores valores, usamos.
La simetría se aprecia fácilmente: la gráfica de cada combinación de dados (color) tendría la misma forma si damos la vuelta al eje en torno a su referencia de simetría, que para el caso es otro eje vertical situado en la media aritmética, que es la medida de centralidad más utilizada. Si recordamos el paralelismo entre probabilidad y frecuencia, la media la calculamos multiplicando cada valor por su probabilidad, y de manera muy esperable, obtenemos:

Vemos más claramente que nunca que cuantos más dados numerados a partir de 1, más desplazada a valores altos está la distribución de valores obtenibles, lo cual es un argumento añadido a que con más de tres dados la jugabilidad se compromete.
Hemos de notar que si en el caso de 12 caras dejamos la probabilidad del 1 en su lugar original el lugar de asignársela al 7, la media del dado dodecaédrico baja a 6,5, justo el punto medio entre el mínimo y el máximo, como ocurre en una distribución simétrica.

La última característica en que nos fijaremos es la concentración de los valores. Observándo las gráficas, queda claro que unas combinaciones de dados favorecen más a los valores centrales (como ocurría en la 6x6 original) y otras nivelan más (caso máximo el de 12).
¿Podemos inventarnos una manera cuantitativa, un parámetro, que nos indique, de manera más fiable que un vistazo a las gráficas, la concentración? La Estadística tiene un arsenal de estas medidas de dispersión; en nuestro caso podemos por ejemplo construir la más sencilla: la desviación media. Para alumnos de 3º ESO en adelante: es fácil de razonar. Si queremos ver cuánto se desvía cada valor de la media para luego sumarlos, obtendremos un 0 bien redondo, ya que unos valores se desvían por defecto y otros por exceso y acaban por cancelarse. Lo que tenemos que hacer es tomar el valor absoluto ("sin signo") de la diferencia de cada uno, y finalmente hacer la media por si queremos comparar con series de valores diferentes de los once que nos ocupan. Los programas de hoja de cálculo disponen de esta función ya construida, pero es más entretenido programarla "a mano" con las operaciones aritméticas básicas y los valores absolutos (que dejo de nuevo como ejercicio de hoja de cálculo). De esa manera obtenemos:

Cuanto menor es Dm, más se concentran las probabilidades en torno al valor medio, y más desigual será la explotación de recursos en Catan. Así, las cuatro combinaciones de dados que me parecen practicables se ordenan de más desigual a menos: 4x4x4, 6x6, 8x4 y 12 (considerada en este caso la acumulación del 1 al 7).